第一章 空间向量与立体几何 章末检测(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知空间向量a＝(－1，1，3)，b＝(2，－2，x)，若a∥b，则实数x的值是(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C．－6 D．6 解析：C　∵空间向量a＝(－1，1，3)，b＝(2，－2，x)，且a∥b，∴＝＝， 解得x＝－6. 2．(2022·安徽六安城南中学开学考)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，1)，且ka＋b与a互相垂直，则实数k＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：B　a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，1)，则ka＋b＝(k－1，k，1)．∵ka＋b与a互相垂直，∴(ka＋b)·a＝k－1＋k＝0，解得k＝.故选B． 3．若，，是空间中不共面的三个向量，则可以与向量＋和向量－构成空间的一个基底的向量是(　　) A． B． C． D． 解析：D　根据题意，知所求向量与＋，－不共面．显然，，都在平面AOB内，只有与＋，－不共面．故选D． 4．在四面体OABC中，设＝a，＝b，＝c，＝3，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c 解析：A　如图所示，连接OF， 因为P为EF的中点，＝3，F为BC的中点， 则＝(＋) ＝ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 5.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　) A． B．3 C． D． 解析：D　由题意知||＝1，||＝1，||＝. 〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°，所以||2＝(－＋)2＝2＋2＋2－·＋·－·＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝. 6．(2022·河北省部分名校高二期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3)，＝(－，0，)，则该三棱柱的高为(　　) A． B． C．2 D．4 解析：B　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以.令z＝2，则x＝－，y＝3，所以n＝(－，3，2)是平面ABC的一个法向量．点A1到平面ABC的距离d＝＝，故该三棱柱的高为. 7．已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，∠ABC＝π，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D．－ 解析：A　如图所示，以垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(0，1，1)，B1(0，0，1)，＝(0，1，1)，因为∠ABC＝120°，所以yA＝ABcos 120°＝－1，xA＝ABsin 120°＝，即A(，－1，0)，＝(－，1，1)，设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cos θ＝＝＝. 8.如图所示，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.在翻折过程中，直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为(　　) A． B． C． D． 解析：A　分别取DE，DC的中点O，F，则点A1的轨迹是以AF为直径的半圆，以OA，OE所在直线分别为x轴、y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(－2，1，0)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，由A1O＝1，设A1(cos α，0，sin α)，则＝(cos α＋2，－1，sin α)，设直线A1C与平面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，设t＝cos α＋∈，sin θ＝≤ ＝，所以直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为. 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．(2022·河北唐山高二期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A．(－)－ B．(＋)－ C．(－)－2 D．(－)＋ 解析：AB　 A √ (－)－＝－＝. B √ (＋)－＝－＝. C × (－)－2＝＋－3＝－3. D × (－)＋＝(－)＋＝＋. 10．(2022·山东师范大学附属中学高二月考)已知空间三点A(－1，0，1)，B(－1，2，2)，C(－3，0，4)，则(　　) A．∥ B．·＝3 C．||＝2 D．cos 〈，〉＝ 解析：BCD　由题意知＝(0，2，1)，＝(－2，0，3)，＝(－2，－2，2). A × 不存在实数λ使得＝λ，所以与不平行． B √ ·＝0＋0＋3＝3. C