第一章 空间向量与立体几何 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课 专题一　空间向量的概念与运算 [重要提醒] 1．空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，要注意类比应用． 2．空间向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律． 3．空间向量基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示结果是唯一的． [典型问题] 1．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　) A．－2　　　　　 B．2 C．3 D．－3 解析：A　b－c＝(－2，3，1)，因为a⊥(b－c)，所以a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，得x＝－2. 2．(2022·福建厦门一中高二期中)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　) A．0 B．2 C．－1 D．－2 解析：B　因为Q∈平面ABC，所以－2＋5－m＝1，解得m＝2. 3.如图，已知在正方体ABCD -A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________． 解析：由题意知＝＋＝＋＝＋(＋)，从而有x＝1，y＝. 答案：1　 4. (多选题)如图，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是(　　) A．＋＋＋＝0 B．＋－－＝0 C．－＋－＝0 D．·＝· 解析：CD　因为－＋－＝＋＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此D正确，其余两个都不正确． 专题二　利用空间向量讨论线、面位置关系 [重要提醒] 1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． 2．证明线面平行的方法： (1)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，且该直线不在平面内； (2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，且该直线不在平面内； (3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量，且该直线不在平面内． 3．证明面面平行的方法： (1)转化为证明线线平行、线面平行； (2)证明这两个平面的法向量是共线向量． 4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法： (1)转化为证明线面垂直； (2)证明两个平面的法向量互相垂直． [典型问题] 1.如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 解析：C　建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2.则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1)， ∵·＝0，∴直线NO，AM的位置关系是异面垂直． 2．(2022·湖北武汉育才高级中学高二月考)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点P满足＝λ＋(λ∈[0，1])．若平面BDP∥平面B1CD1，则实数λ的值为(　　) A． B． C． D． 解析：D　因为＝λ＋，所以AP，AB，AA1共面，即点P在平面ABB1A1内．又在正方体ABCD -A1B1C1D1中，平面B1CD1∥平面BDA1(如图)，所以要使平面BDP∥平面B1CD1，则点P在平面BDA1内，即点P在A1B上，点P，A1，B共线，所以λ＋＝1，解得λ＝. 3.如图，在四棱锥P -ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点．求证： (1)PC∥平面EBD； (2)平面PBC⊥平面PCD． 证明：如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设DC＝a，PD＝b，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，b)，E(0，，)． (1)＝(0，，)，＝(a，a，0)． 设平面EBD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－，得n＝(－1，1，－)为平面EBD的一个法向量． 又＝(a，0，－b)，且·n＝－a＋(－)×(－b)＝0， ∴⊥n. ∵PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD． (2)＝(a，a，－b)，＝(0，－a，0)． 设平面PBC的法向量为n1＝(x2，y2，z2)，则∴y2＝0. 令z2＝1，则x2＝，