第一章 空间向量与立体几何 阶段提能训练(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

阶段提能训练(一) 教师用书独具 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 1．已知平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x＋y的值为(　　) A．－8　　　　　　 B．－4 C．4 D．8 解析：A　因为平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，所以a·b＝0，即－x－y－8＝0，则x＋y＝－8，故选A． 2．(2022·河南焦作高二月考)若a＝(x，2y－1，－)是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝(3，，－2)与平面α都平行，则向量a＝(　　) A．(－，－，－) B．(－，－，－) C．(－，－，－) D．(－，，－) 解析：D　因为a·b＝0，a·c＝0，所以－x＋4y－＝0，3x＋y＝0，解得x＝－，y＝，所以a＝(－，，－)．故选D． 3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：A　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)， ∴＝(－1，－1，－2)，＝(1，0，－2)， ∴|cos〈，〉|＝＝. 4．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－，，－1)，n＝(，－1，3)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 解析：D　因为n＝－3m，所以m∥n， 所以α∥β或α与β重合． 5．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)． 于是＝(0，1，0)，取PD的中点E， 则E(0，，)， ∴＝(0，，)，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量， ∴|cos〈，〉|＝， ∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 6．已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a 解析：D　由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，B1D1∩AB1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝＝＝a. 7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　) A．　 B．　 C．　 D． 解析：B　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，M(0，1，)，B1(1，1，1)，＝(－1，0，0)，＝(0，1，－)，＝(1，0，)， 设平面A1D1M的法向量为m＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝1可得z＝2，所以m＝(0，1，2)， 设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ， sin θ＝＝＝. 8．(多选题)下列命题是真命题的有(　　) A．直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝(2，1，－)，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β D．平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1 解析：AD　∵a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－)， ∴a·b＝1×2＋(－1)×1＋2×(－)＝0，则a⊥b，∴直线l与m垂直，故A正确．∵a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B错误．∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，故C错误．