第二章 直线和圆的方程 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课 专题一　两直线的平行与垂直 [重要提醒] 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [典型问题] 1．(2022·山东枣庄第八中学高二月考)已知直线l经过点A(0，4)，且与直线2x－y－3＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．2x－y＋4＝0　　　 B．x＋2y＋8＝0 C．2x－y－4＝0 D．x＋2y－8＝0 解析：D　由题意设直线l的方程为x＋2y＋λ＝0. 把(0，4)代入得λ＝－8.故方程为x＋2y－8＝0. 2．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上， 则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 解析：将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 答案：垂直 3．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝________． 解析：因为直线x＋my＋6＝0与(m－2)x＋3y＋2m＝0平行， 所以解得m＝－1. 答案：－1 专题二　两直线的交点与距离问题 [重要提醒] [典型问题] 1．若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， 则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 解析：C　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. 2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A．2 B． C．2 D． 解析：D　根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2， ∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3， 故两条直线之间的距离d＝＝＝. 3．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　方法一：由得 即直线l过点(1，2)．设点Q(1，2)，因为|PQ|＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条． 方法二：依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条． 4．过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解：设l1与l的交点为A( a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 专题三　直线与圆的位置关系 [重要提醒] 1．判断直线与圆的位置关系一般用几何法，即比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系得到直线与圆的位置关系． 2．求圆的切线方程可利用待定系数法结合图形求解，也可利用代数法Δ＝0求解． 3．求圆的弦长一般利用几何法，即弦长|AB|＝2. [典型问题] 1．(2022·江西南昌十中高二月考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 解析：C　因为圆心在直线x－2y＝0上，所以可设圆心的坐标为(2t，t)．由圆C与y轴的正半轴相切，得t＞0，且圆的半径r＝2t.由圆C截x轴所得弦的长为2，得t2＋3＝4t2，解得t＝1(t＝－1舍去)，则圆心坐标为(2，1)，半径r＝2，故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 2．(2022·广东广州高二四校联考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2