等差数列前n项和性质讲义-2024届高三数学一轮复习

等差数列及前n项和性质 班级： 小组： 姓名：____________ 1、 知识链接 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．符号表示：____________． (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝_________. 2．等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝__________.推广：an_________． 3．等差数列通项的有关性质 (1)等差数列的增减性：________时为递增数列，________时为递减数列 (2)已知数列{an}是等差数列，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有________________.特别的，若m＋n＝2p，则am＋an＝__________. (3)在等差数列{an}中，公差为d，则ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为________. (4)若{an}是等差数列，公差为d，则…(k，m∈N*)仍为等差数列，公差_____. (5)若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列. 4．等差数列前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式 ①Sn＝___________________________②Sn＝_____________________________. 5.等差数列前n项和公式性质 (1)若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列,公差为________. (2)等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则 A＝___ __，B＝_____ _____， 当d≠0时它表示___ _____函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的________条件． （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列； 等差数列{an}中，若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝ 1.证明通项公式. 1.数列满足，.(1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式.（3）求数列的前n项和 变式：已知数列满足，且当时，. （1）求证：数列是等差数列；（2）记，求数列的前项和. 2. 下角标和性质 1.（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，为其前n项和，，则（    ） A．516 B．440 C．258 D．220 2.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为（    ） A．88 B．-88 C．110 D．-55 3.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则数列的前2024项的和为（    ） A．1010 B．1012 C．2023 D．2024 3.求， 例1.设、分别是等差数列、的前项和，，求 变式.设、分别是等差数列、的前项和，，求 例2.等差数列和的前项和分别为和，且，求 变式.等差数列和的前项和分别为和，且，求 4.等差数列性质 1.已知等差数列前项和为，若，则的值为__________. 2已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 3（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 4.若等差数列共有项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为_______. 5.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________. 5.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件 例1. （1）若是等差数列中，首项，且，则使前项和Sn最大时，是______． 使成立的最大自然数是______． （2）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为________． 例2：（1）若数列是等差数列，首项，，则使前项和成立的最大自然数是____