专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 图2 8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   模型2、“A”字模型 结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，，若，那么（    ） A． B． C． D． 例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 例7．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C； 应用上面模型解决问题： (1)如图（2），“五角星”形，求？ 分析： 图中是“A”型图，于是，所以=   ； (2)如图（3），“七角星”形，求； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ； 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB