专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 图2 图3 条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 飞镖模型结论的常用证明方法： 例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 例3．（2022秋·广西八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型 图1 图2 1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 例2．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （    依据    ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． A．小丽的证法用严谨的