06第六章 平面向量和复数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（新教材专用）

第六章 平面向量和复数 目录 1 考点精讲精练 7 考点一：平面向量的概念 7 考点二：平面向量的运算 8 考点三：平面向量基本定理 9 考点四：平面向量坐标运算 11 考点五：余弦定理 12 考点六：正弦定理 14 考点七：余弦定理、正弦定理应用 15 考点八：复数的概念及四则运算 17 平面向量和复数实战训练 18 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是. （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 （1）向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （2）向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. （3）向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、向量的夹角 已知两个非零向量和，如图所示，作，，则 ()叫做向量与的夹角，记作． (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作； 当时，两向量，共线但反向． 5、数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：. 6、平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 8、平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 9、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 10、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 11、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 12、三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 13、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 14、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 15、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 16、复数的几何意义 （1）复数的几何意