第08讲 二项分布、超几何分布及正态分布（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第08讲 二项分布、超几何分布及正态分布 （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国甲卷（理）， 第19题,12分 超几何分布的均值 超几何分布的分布列 计算几个数的中位数 独立性检验解决实际问题 2022年新Ⅱ卷，第13题,5分 正态分布指定区间的概率 / 2021年新Ⅱ卷，第6题,5分 正态分布的实际应用 / 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分 【备考策略】1.理解、掌握二项分布的定义及计算 2.理解、掌握超几何分布的定义及计算 3.理解、掌握正态分布的定义及计算 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般给在大题中结合前面的的概率及分布列一起考查，需重点强化复习 知识讲解 1. 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 2. 两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 3. 超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 4. 正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 考点一、二项分布 1．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作. (1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）； (2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)，，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高． 【分析】（1）根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率和，根据大小关系，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，可得方案一中，随机变量， 则，，， 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 P 所以期望为． （2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为