4.4指数函数，幂函数，对数函数的增长的比较 学历案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

驻马店高级中学 我努力 我骄傲 我自豪 4.4 指数函数，幂函数，对数函数增长的比较 【学习主题】新授课 【课时安排】1个课时 【学习目标】1.理解三种不同函数的变化快慢比较． 2．通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养 【学习重难点】1.了解三种函数的增长特征．(重点) 2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸”和“对数增长”．(重点) 3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点) 【学情分析】通过前面的学习，学生已经掌握了三种不同函数的解析式，知道了各自的增减性，为本节课三种函数的纵向比较作了铺垫。 【学法建议】通过不同的例子，让学生切身感受三种不同函数的变化快慢.一、 课前预习，发现问题 【学习过程】 （一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第 116 页，思考并回答下列问题（写出答案） （2） 记录预习发现的问题。 （2） 预习自测 基础知识自测 三种函数的增长趋势 y＝ax y＝logax y＝xα 在上的增减性 增函数 图象的变 化趋势 随x增大，近似与y轴平行． 随x增大，近似与x轴平行． α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快． 增长速度 ①随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快． ②随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢． ③当x足够大时，一定有ax>xα>logax. 思考：举例说明“指数爆炸”增长的含义？ 提示：如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果． 1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D D　[设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)， ∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．] 2．下列函数中，增长速度最慢的是(　　) A．y＝6x 　 B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x B　[对数函数增长的速度越来越慢，故选B.] 3．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________． b<c<a　[三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x，y＝x4，y＝4x，当x＝4时，b＝log44＝1，a＝c＝44， 所以a，b，c的大小关系是b<c<a.] 4．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R). (1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润； (2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况． [解]　(1)依题意：由有 解得a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6. 由有解得a2＝，b2＝5， ∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5， 所以甲在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g(5)＝86万元， 故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等． (2)作函数图象如图所示： 从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润： 当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)； 当1<x<5时，有f(x)>g(x)； 当5<x≤12时，有f(x)<g(x). （三）完成课本第 117 页练习，并把学历案上的学习任务完成同时标记疑问题 二、 课中学习，合作探究 【学习任务1】函数模型的增长差异 　(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝10 000x B．y＝log2x C．y＝x1 000 D．y＝ (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是________． 【课堂活动】小组合作学习，讨论2分钟时间 (1)D　(