专题5-2 平面向量共线定理与等和线-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题5-2 平面向量共线定理与等和线 一、平面向量共线定理：已知，是三点共线的充要条件 证明 若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且， 证明：A，B，C三点共线是的充要条件. 证明:(1)由A，B，C三点共线.由得 . 即，共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 二、等和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1.当等和线恰为直线AB时，k等于1. 2.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1.当等和线恰为直线AB时，k等于1. 2.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 2017全国3卷（理）T12 1． 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 2020年江苏省高考 2． 在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为　　；若为常数且，则的长度是　 　． 重点题型·归类精讲 题型一 向量共线定理：构造方程组求系数 2023·深圳二模 1． 已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一) 2． 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 3． 在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 题型二 向量共线定理：结合不等式求最值 2024届·湖南师大附中月考（二） 4． 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 5． 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 . 2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考 6． （多选）在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（    ） A． B． C．的最小值为17 D． 7． （多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 题型三 等和线：求系数和最值，范围 8． 如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________． 9． 如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．    10． 给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 11． 如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 12． 在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 13． 直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3 6 / 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-2 平面向量共线定理与等和线 一、平面向量共线定理：已知，是三点共线的充要条件 证明 若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且， 证明：A，B，C三点共线是的充要条件. 证明:(1)由A，B，C三点共线.由得 . 即，共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 二、等和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1.当等和线恰为直线AB时，k等于1. 2.定值k的变化