10-5 椭圆及其性质 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

10-5 椭圆及其性质 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用． 10-5 椭圆及其性质 1 一、主干知识 2 考点1：椭圆的定义 2 考点1：椭圆的简单几何性质 2 【常用结论总结】 3 二、分类题型 4 题型一 椭圆的定义及其应用 4 题型二 椭圆的标准方程 5 命题点1　定义法 5 命题点2　待定系数法 5 题型三 椭圆的几何性质 6 命题点1　离心率 6 命题点2　与椭圆有关的范围(最值) 6 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 考点1：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【常用结论总结】 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 二、分类题型 题型一 椭圆的定义及其应用 【例题精析1】 已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【例题精析2】 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（    ） A．20 B．16 C．18 D．14 【例题精析3】 已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【例题精析4】 若，，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是 【例题精析5】 已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则 . 【例题精析6】 椭圆上一点P到右焦点F的距离为3，则P到左焦点的距离是 ，顶点在原点的抛物线C的焦点也为F，则其标准方程为 ． 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 【对点精练1】 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为　　 A．2 B．4 C． D． 【对点精练2】 下列与椭圆焦点相同的椭圆是　　 A． B． C． D． 【对点精练3】 是椭圆上一点，且，则　　 A．1 B．3 C．5 D．9 【对点精练4】 椭圆上一点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为 　　． 【对点精练5】 已知、是两个定点，，且的周长等于16，则顶点的轨迹为 　　． 【对点精练6】 已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为　　． 题型二 椭圆的标准方程 【例题精析7】 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例题精析8】 经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为 . 【例题精析9】 若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 . 【例题精析10】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (2)焦点坐标为和，且经过点. 【例题精析11】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)经过两点，. 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据