专题9.1 直线与直线方程（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.1 直线与直线方程 【核心素养】 1.通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 2.通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养． 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 ①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率 ①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , . ②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在． 4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系： （1）当时，越大，斜率越大； （2）当时，越大，斜率越大. 知识点二 直线的方程 1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为： .这个方程就叫做直线点斜式方程. 特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程 直线过两点其中，则直线的方程为： .这个方程叫做直线的两点式方程. 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：. 特别地，若直线过两点，则直线的方程为： ，这个方程叫做直线的截距式方程. 3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距. 知识点三 两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系 (1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有 . 2．两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有. 知识点四 距离问题 1．两点间的距离公式 设两点，则. 2．点到直线的距离公式 设点，直线，则点到直线的距离 . 3．两平行线间的距离公式 设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离 . 知识点五 两条直线的交点 1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. 2.两条直线，联立方程组， 若方程组有无数组解，则重合． 知识点六 对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有. 3.中心对称：点A(x0，y0)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－x0,2n－y0)；曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0；特别地，点P(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)． 4.轴对称：（1）点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P0(x0，y0)，满足如下关系： （2）特殊的轴对称：（i）点P(x0，y0)关于x轴、y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y0，－x0)、(y0－m，x0＋m)、(－y0＋n，－x0＋n) （ii）曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴，y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0． 常考题型剖析 题型一： 直线的倾斜角与斜率 【典例分析】 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 例1-2.（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）直线的倾斜角是，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【规律方法】 1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利