第06讲 事件的相互独立性、条件概率、全概率及贝叶斯公式（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第06讲 事件的相互独立性、条件概率、全概率及贝叶斯公式（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第21题,12分 利用全概率公式求概率 求离散型随机变量的均值 2023年新Ⅱ卷，第12题,5分 独立事件的乘法公式 独立重复试验的概率问题 利用互斥事件的概率公式求概率 2023年全国甲卷（理）， 第6题,5分 计算条件概率 无 2022年新I卷，第20题,12分 计算条件概率 独立性检验解决实际问题 2022年新Ⅱ卷，第19题,12分 计算条件概率 频率分布直方图的实际应用 由频率分布直方图估计平均数 利用对立事件的概率公式求概率 2021年新I卷，第8题,5分 独立事件的判断 无 2020年全国甲卷（理）， 第19题,12分 独立事件的实际应用及概率 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分 【备考策略】1.理解、掌握事件的相互独立性关系及其辨析 2.会独立事件的乘法公式计算 3.会条件概率的计算 4.会全概率及贝叶斯概率的计算 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合条件概率、全概率及贝叶斯概率综合考查，需重点强化复习 知识讲解 1. 事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　 2. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 3. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 4. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 5. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 考点一、独立事件的判断 1．（2023·全国·高三专题练习）某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（    ） A．事件与事件互斥但不对立 B．事件A与事件互斥且对立 C．事件与事件相互独立 D．事件A与事件相互独立 【答案】D 【分析】先列出生3个小孩包含的基本事件数及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件数，再利用互斥，对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断. 【详解】生3个小孩的总事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8个基本事件， 事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6个基本事件， 事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4个基