第02讲 排列组合（16类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第02讲 排列组合（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 分类加法计数原理 2023年新Ⅱ卷，第3题,5分 实际问题中的组合计数问题 分步乘法计数原理及简单应用 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 2023年全国甲卷（理）， 第9题,5分 排列数的计算 分类加法计数原理 2023年全国乙卷（理）， 第7题,5分 排列数的计算 实际问题中的组合计数问题 分步乘法计数原理及简单应用 2022年新I卷，第5题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率 2022年新Ⅱ卷，第5题,5分 元素(位置)有限制的排列问题 相邻问题的排列问题 无 2022年全国甲卷（理）， 第15题,5分 组合计数问题 计算古典概型问题的概率 2022年全国乙卷（理）， 第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率 2021年全国甲卷（理）， 第10题,5分 不相邻排列问题 计算古典概型问题的概率 2021年全国乙卷（理）， 第6题,5分 排列组合综合 无 2020年新I卷，第3题,5分 排列组合综合 无 2020年新Ⅱ卷，第6题,5分 分组分配问题 无 2020年全国乙卷（理）， 第14题,5分 相邻问题的排列问题 分步乘法计数原理及简单应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握排列与组合的定义 2.掌握排列数与组合数的性质，会计算排列数与组合数 3.熟练掌握排列组合的解题方法 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习 知识讲解 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 3. 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 考点一、简单排