第01讲 分类加法原理与分步乘法原理（4类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第01讲 分类加法原理与分步乘法原理 （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第13题,5分 分类加法计数原理 实际问题中的组合计数问题 2023年新Ⅱ卷，第3题,5分 分步乘法计数原理及简单应用 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 实际问题中的组合计数问题 2023年全国甲卷（理）， 第9题,5分 分类加法计数原理 排列数的计算 2023年全国乙卷（理）， 第7题,5分 分步乘法计数原理及简单应用 排列数的计算 实际问题中的组合计数问题 2020年全国乙卷（理）， 第14题,5分 分步乘法计数原理及简单应用 相邻问题的排列问题 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义 2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习 知识讲解 1．分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 4. 使用分类加法计数原理时两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏. (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复. 5. 利用分步乘法计数原理解题时三个注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事． (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定． 　应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成． 考点一、分类加法原理 1．（2023·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 2．（2023·全国·高三专题练习）在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 3．（2023·全国·高三专题练习）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（    ） A．16种 B．12种 C．9种 D．6种 4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 . 5．（全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 1．（2023·全国·高三专题练习）有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（    ） A．3种 B．12种 C．60种 D．不同于以上的答案 2．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同