第二题 复数及其运算-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第二题 复数及其运算 高考真题 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 知识点总结 1. 复数的有关概念 (1) 定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，__ __叫做实部，　 　叫做虚部，复数集记做C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． (2) 复数相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔　 　. (3) 共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi. 2. 复数的分类 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3. 复数的几何意义 (1) 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数． (2) 几何意义：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 向量. (3) 复数的模：设＝a＋bi，则向量的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z|＝|a＋bi|＝　 　. 4. 复数的代数运算 已知两个复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么： z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i， ＝＝(z2≠0)． 5. 常用结论 (1) i的乘方具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. (2) 复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2. 题型展示 复数的有关概念 (2022·湛江二模)若z＝＋3i，则 　等于(　 　) A. 1－5i B. 1－i C. 1＋5i D. 1＋i 复数的运算 若复数z＝，则|z－i|等于(　B　) 复数的几何意义 (2022·日照一模)复平面内表示复数z＝的点位于(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 复数的几何意义体现了数形结合思想的运用．处理这类问题常用两种方法：一是利用复数的代数形式进行求解，即“化虚为实”，思路自然清晰，但运算较复杂；二是利用复数的几何意义进行求解，显得简捷明快．另外，关于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决． 若复数z1＝cosθ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　) A. 5 B. C. 6 D. 复数的三角形式 在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　 　) A. 2 B. －2i C. －3i D. 3＋i 真题演练 一、单选题 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A．1 B．2 C． D．5 3．（    ） A． B．1 C． D． 4．设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．设复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 9．（    ） A．i B． C．1 D． 10．复数的虚部为（    ） A．3 B． C．2 D． 11．（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知是虚数单位，化简的结果为 ． 13．若将复数表示为（，i是虚数单位）的形式，则 ． 14．复数的值是 ． 模拟训练 一、单选题 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A．1 B．2 C． D．5 3．（    ） A． B．1 C． D． 4．设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．设复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 9．（    ） A．i B． C．1 D． 10．复数的虚部为（    ） A．3 B． C．2 D． 11．（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知是虚