第三题 向量及其运算-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第三题 向量及其运算 高考真题 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 知识点总结 1. 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量，其方向是任意的 记作0 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 共线 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量 0向量与任一向量平行或共线 相等 向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反 向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3. 共线向量定理：向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得　 　. 4. 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足 　，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底． 5. 向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝　 　，λa＝　 　，|a|＝ . (2) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝ . 6. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔　 　. 7. 向量的夹角：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是　 　. 8. 投影向量 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，且a在b方向上的投影向量为|a|cos θ＝·b，θ为a与b的夹角． 9. 平面向量的数量积 已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cosθ叫做向量a，b的数量积，记作a·b. 10. 平面向量数量积的性质 (1) 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a，e的夹角)； (2) a⊥b⇔a·b＝0； (3) 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|，当向量a，b反向时，a·b＝　 　，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝； (4) cosθ＝(θ为a，b的夹角)； (5) |a·b|≤　 　. 11. 平面向量数量积的运算律 (1) 交换律：a·b＝b·a； (2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c； (3) 对任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 12. 平面向量数量积有关性质的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ为a，b的夹角)，则： (1) a·b＝　 　； (2) a⊥b⇔　 　； (3) |a|＝　 　； (4) cos θ＝＝　 　. 13. 常用结论 (1) 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝　 　. (2) 若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. (3) 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (4) 由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△OAB与△OA′B′相似，知必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝k