5.4～5.5 锐角三角函数-【中考总复习】2024中考数学总复习之同步综合专题模拟卷

115 5.4 锐角三角函数(1) 【思维导图】 【知识梳理】 1. 在如图所示的直角三角形ABC 中,∠C=90°. sinA= ( ) ( ) ;cosA= ( ) ( ) ;tanA= ( ) ( ). 2. 填空. α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 【例题精讲】 例1 计算: (1)(2022·常州模拟)2sin60°+3tan30°-tan245°; (2)(2023·济宁)12-2cos30°+|3-2|+2-1. 例2 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为AC 上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A 的三个 三角函数值. 116 例3 定义:在△ABC 中,∠C=30°,我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦,记 作thiA,即thiA= ∠A 的对边 ∠C 的对边= BC AB. 请解答下列问题: 已知:在△ABC 中,∠C=30°. (1)若∠A=45°,求thiA 的值; (2)若thiA= 3,则∠A= °; (3)若∠A 是锐角,探究thiA 与sinA 的数量关系. 例4 问题呈现 如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N 和E,C,DN 和EC 相交于点P,求 tan∠CPN 的值. 方法归纳 求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题 中∠CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连 接格点 M,N,可得 MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接 DM,那么∠CPN 就变换到 Rt△DMN 中. 问题解决 (1)直接写出图1中tan∠CPN 的值为 ; (2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN 与CM 相交于点P,求cos∠CPN 的值; 思维拓展 (3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点 M 在AB 上,且AM=BC,延长CB 到N,使BN= 2BC,连接AN 交CM 的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN 的度数. 图1 图2 图3 117 【课内训练】 1. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4.下列四个选项,正确的是 ( ) A. tanB=0.75 B. sinB=0.6 C. sinB=0.8 D. cosB=0.8 2. (2023·靖江市模拟)已知Rt△ABC 中,∠C=90°,tanA= 3,则∠A 的度数为 . 3. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,若AB=10,cosA= 3 5 ,则AC 等于 . 4. (2022·太仓市期末)已知△ABC 中,∠A=30°,AB=4. (1)如图1,若∠C=90°,则AC= ;(结果保留根号) (2)如图2,若∠C=45°,求AC 的长.(结果保留根号) 图1 图2 课外作业 1. (2023·南充)如图,小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处,再向正北方向走到C 处,已知∠BAC=α,则A,C 两处相距为 ( ) A. x sinα 米 B. x cosα 米 C. x·sinα米 D. x·cosα米 第1题 第4题 第6题 2. 在△ABC 中,若 sinA- 1 2 + 2 2-cosB 2 =0,则∠C 的度数是 ( ) A. 45° B. 75° C. 105° D. 120° 3. (2023·常州模拟)在Rt△ABC 中,∠C=90°,tanA=2,AB=25,则AC 的长是 . 4. 如图,sin∠1= . 5. (2022·海门市期末)在△ABC 中,∠C=90°,sinA= 1 2 ,AC=43,则BC= . 6. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,D 是AC 的中点,则tan∠DBC= . 118 7. (★)已知△ABC,∠A=30°,AB=4,BC=22,则△ABC 的面积为 . 8. (★)(2023·如皋市一模)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,tanA= 3 5. 延长AB 到D,使BD= 1 2AB ,连接CD,则tan∠BCD= . 9. 计算: (1)tan260°+4sin30°cos45°; (2) cos30° 1+sin30°+tan60° ; (3)(2023·北京)4sin60°+ 13 -1 +|-2|- 12. 10. 已知:Rt△ACB 中,∠C=90°,∠A=60°,CD⊥AB 于点D,CD= 3,解这个直角三角形. 11. 在△ABC 中,ta