4.6～4.8 圆-【中考总复习】2024中考数学总复习之同步综合专题模拟卷

88 4.6 圆(1) 【思维导图】 【知识梳理】 1. 圆是平面上到定点的距离等于 的点的集合. 2. 的三点确定一个圆.任何一个三角形都有一个外接圆,三角形的外接圆的圆心 叫做三角形的 心,它是三角形的 交点. 3. 圆是轴对称图形, 是对称轴;圆又是中心对称图形,其对称中心是 . 4. 垂直于弦的直径平分 ,并且平分此弦所对的 .平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且平分此弦所对的 . 5. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条 相等,所对的两条 相等. 6. 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 ;直径所对的圆周角是 ;90°的圆 周角所对的弦是 . 【例题精讲】 例1 (2022·南京期中)如图,☉O 的弦AB,CD 相交于点E,AB=CD.求证:AE=CE. 思考:若把“AE=CE”与“AB=CD”交换,结论还成立吗? 89 例2 (2023·安徽)已知四边形ABCD 内接于☉O,对角线BD 是☉O 的直径. (1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA 平分∠BCD; (2)如图2,E 为☉O 内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=33,AE=3,求弦BC 的长. 图1 图2 例3 (★)(2023·高新区一模)如图1,在△ABC 中,CA=CB,D 是△ABC 外接圆☉O 上一 点,连接CD,过点B 作BE∥CD,交AD 的延长线于点E,交☉O 于点F. (1)求证:四边形DEFC 是平行四边形; (2)如图2,若AB 为☉O 直径,AB=7,BF=1,求CD 的长. 图1 图2 【课内训练】 1. 已知☉O 的半径为5 cm,点A 为线段OP 的中点,当OP=6 cm时,点A 在☉O ;当 OP=10 cm时,点A 在☉O ;当OP=18 cm时,点A 在☉O . 2. (2023·随州)如图,在☉O 中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC 的度数为 . 90 3. (2023·鼓楼区模拟)如图,△ABC 内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB= . 第3题 第4题 4. 如图,圆O 的直径AB 垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD 的长为 . 5. 在半径为1的☉O 中,长为 2的弦所对圆周角度数是 . 6. 如图,在☉O 中. (1)若AB ︵ =AC ︵,∠ACB=70°,求∠BOC 的度数; (2)若☉O 的半径为13,BC=10,求点O 到BC 的距离. 课外作业 1. 若☉P 的半径为4,圆心P 的坐标为(-3,4),则平面直角坐标系的原点O 与☉P 的位置关系 是 ( ) A. 在☉P 内 B. 在☉P 上 C. 在☉P 外 D. 无法确定 2. (2023·金昌)如图,△ABC 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,点 D 是☉O 上一点,∠CDB= 55°,则∠ABC= °. 第2题 第3题 3. 如图,已知 AB 和CD 为☉O 的两条直径,弦CE∥AB,弧CE 的度数为40°,则∠BOC= °. 91 4. 如图,☉O 是△ABC 的外接圆,直径AD= 2,∠ABC=∠DAC,则AC 长为 . 第4题 第5题 第6题 5. (2022·海陵区二模)如图,点O 是△ABC 的外心,连接OB,若∠OBA=17°,则∠C 的度数为 °. 6. (★)如图,在四边形ACBD 中,AB=BD=BC,AD∥BC,若CD=4,AC=2,则AB 的长为 . 7. 如图,A,B,C,D 为☉O 上四点,若AC⊥OD 于E,且AB ︵ =2AD ︵,请说明AB=2AE. 8. 如图,☉O 的弦AB,DC 的延长线相交于点E. (1)如图1,若AD ︵ 为120°,BC ︵ 为50°,求∠E 的度数; (2)如图2,若AB=CD,求证:AE=DE. 图1 图2 92 9. (2023·金华)如图,点A 在第一象限内,☉A 与x 轴相切于点B,与y 轴相交于点C,D,连接 AB,过点A 作AH⊥CD 于点H. (1)求证:四边形ABOH 为矩形; (2)已知☉A 的半径为4,OB= 7,求弦CD 的长. 10. (2022·广东)如图,四边形ABCD 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC 的形状,并给出证明; (2)若AB= 2,AD=1,求CD 的长度. 1