4.2～4.3 三角形-【中考总复习】2024中考数学总复习之同步综合专题模拟卷

71 4.2 三角形(1) 【思维导图】 【知识梳理】 1. 三角形的任意两边之和 第三边,任意两边之差 第三边. 2. 三角形的三个内角和等于 ,一个外角等于与它不相邻的两个内角的 . 3. 两边和它们的 对应相等的两个三角形全等(SAS). 4. 两角和它们的 对应相等的两个三角形全等(ASA). 5. 两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等(AAS). 6. 边对应相等的两个三角形全等(SSS). 7. 斜边和一条 对应相等的两个直角三角形全等(HL). 8. 三角形的中位线平行于 ,且等于 的一半. 9. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 相等. 三角形三条边的垂直平分线相 交于一点,并且这一点到 的距离相等. 10. 角平分线上的点到这个角的两边的 相等. 三角形三个内角的平分线交于一点,并且 这一点到 的距离相等. 【例题精讲】 例1 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,BC=DC,AC,BD 相交于O. 求证:(1)△ABC≌△ADC; (2)OB=OD,AC⊥BD. 思考:证明OB=OD,AC⊥BD,你有几种方法? 什么方法最简便? 72 例2 如图,已知线段a,c,∠α.求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α. 思考:若已知三角形的两角及其夹边,如何作三角形? 例3 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点C,AD⊥MN,BE⊥MN,垂 足分别为D,E. (1)当直线 MN 绕点C 旋转到如图所示的位置时,求证: ①△ADC≌△CEB; ②DE=AD+BE. (2)绕点C 旋转直线MN,探究DE,AD,BE 三者之间的关系,并加以证明. 【课内训练】 1. 如果一个三角形的两个内角分别是40°,50°,那么这个三角形是 三角形;在△ABC 中,若∠A+∠B=90°,这个三角形是 三角形. 2. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 ( ) A. 3,4,4 B. 3,4,5 C. 3,4,6 D. 3,4,7 3. (2023·苏州)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 为△ABC 的角平分线.以点A 圆心,AD 长 为半径画弧,与AB,AC 分别交于点E,F,连接DE,DF. (1)求证:△ADE≌△ADF; (2)若∠BAC=80°,求∠BDE 的度数. 73 课外作业 1. (2022·宿豫区期中)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,有下列三个结论:①AD 是△ACD 的高; ②AD 是△ABD 的高;③AD 是△ABC 的高.其中正确的结论是 ( ) A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. 只有②正确 第1题 第2题 第3题 第4题 2. (2023·滨湖区一模)王师傅用6根木条钉成一个六边形木架(如图),要使这个木架不变形,他 至少还要再钉上木条的根数为 ( ) A. 0根 B. 1根 C. 2根 D. 3根 3. 如图,AD 是△ABC 的一条中线,G 是△ABC 的重心.若AG=6,则DG 的长为 . 4. (2023·徐州)如图,在△ABC 中,若 DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则 ∠C= °. 5. (2023·连云港)一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是 .(只填一个 即可). 6. (2023·泸州)如图,点B 在线段AC 上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC.求证:AD=EB. 7. (2022·丹徒区期末)如图,在△ABC 和△DAE 中,∠ACB=∠DEA=90°,且 AB⊥AD, AB=AD. (1)求证:△ABC≌△DAE; (2)若AB=13,AE=5,求CE 的长. 74 8. 如图,点D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,点E,F,G,H 分别是线段 AB,AC,CD,BD 的中点.求四边形EFGH 的周长. 9. (2022·玄武区期末)如图,在Rt△ABC 和Rt△ADE 中,∠B=∠D=90°,AC=AE,BC= DE,延长BC,DE 交于点M. (1)求证:点A 在∠M 的平分线上; (2)若AC∥DM,AB=12,BM=18,求BC 的长. 10. (1)如图1,已知△ABC,以AB,AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接 BE,CD,请你完成图形(尺规作图,不写作法,保留作