2.3 一元二次方程-【中考总复习】2024中考数学总复习之同步综合专题模拟卷

30 2.3 一元二次方程 【思维导图】 【知识梳理】 1. 只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次 方程. 2. 一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项的系数, 叫做一次项的系数,c叫 . 3. 一元二次方程的常用解法 (1)直接开平方法; (2)配方法; (3)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 ; (4)因式分解法. 4. 一元二次方程根的判别式与根的关系 关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 . 5. 一元二次方程根与系数的关系 若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根分别为x1,x2,那么 . 【例题精讲】 例1 解方程: (1)(2023·无锡) 2x2+x-2=0; (2)x2-4=2x(x-2). 例2 对于二次三项式x2-10x+36,小聪同学作出如下结论:无论x 取什么实数,它的值都不 可能等于11.你是否同意他的说法? 说明你的理由. 思考:你能否构造二次函数,并利用其图象的特征解决这个问题? 31 例3 用一根长22 cm的铁丝: (1)能否围成面积是30 cm2 的矩形? 如果能,求出矩形的边长,如果不能说明理由; (2)能否围成面积是32 cm2 的矩形? 如果能,求出矩形的边长,如果不能说明理由. 思考:你能用函数思想解决此题吗? 例4 (2022·常州期末)常州大剧院举办文艺演出.经调研,如果票价定为每张50元,那么1200 张门票可以全部售出;如果票价每增加1元,那么售出的门票将会减少20张.要使门票收 入达到60500元,票价应定为多少元? 思考:这类问题如何寻找等量关系? 【课内训练】 用方程解决下列问题: (1)某校八年级举行篮球比赛,每个班级都要和其他班级比赛一场,结果共进行了45场比 赛,问这个学校八年级共有几个班级? (2)八年级某班一个小组同学在春节期间互寄贺卡,每人向小组里的其他同学寄一张贺卡, 全组互寄的贺卡共计90张,问该小组有多少人? 32 课外作业 1. 一元二次方程3(x2-3)=5x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ( ) A. 3,-5;9 B. 3,-5;-9 C. 3,5;9 D. 3,5;-9 2. (2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是 ( ) A. (x+6)2=28 B. (x-6)2=28 C. (x+3)2=1 D. (x-3)2=1 3. (2023·河南)关于x 的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知关于x 的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),则a-b值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. (2022·兰州)关于x 的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个相等的实数根,则k= ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 6. 已知关于x 的方程x2+mx-6=0的一个根为2,则m= ,另一根是 . 7. (2023·连云港)关于x 的一元二次方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,则a 的取值 范围是 . 8. (2022·资阳)若a 是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根,则2a2+4a 的值是 . 9. 若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则x2+y2= . 10. (★)关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方 程a(x+m+2)2+b=0的解是 . 11. 解方程: (1)x2-4x+1=0; (2) x(x-2)+x-2=0. 12. (2022·十堰)已知关于x 的一元二次方程x2-2x-3m2=0. (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根分别为α,β,且α+2β=5,求m 的值. 33 13. (2023·东营)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个 矩形羊圈ABCD,并在边BC 上留一个2 m宽的门(建在EF 处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2 的羊圈? (2)羊圈的面积能达到650 m2 吗? 如果能,请你给