专题24.3 坐标系中圆的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题24.3 坐标系中圆的综合 【典例1】在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点． （1）已知，， ①在点，，中，线段的融合点是______； ②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围； （2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围． 【思路点拨】 （1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域，则当直线与两圆相切时是临界点，据此求解即可； （2）先推理出的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与内切，外切时a的值即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点， 故答案为；，； ②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q， ∵点Q在线段的垂直平分线上， ∴， ∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上， ∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域． 当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示． ∵，， ∴, ∴或． ∴当时，直线上存在线段的融合点． （2）解：如图3-1所示，假设线段位置确定， 由轴对称的性质可知， ∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动， ∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）； 当时， 如图3-2所示，当以T为圆心，为半径的圆与外切时， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 如图3-3所示，当以为圆心，为半径的圆与内切时， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴时，存在直线，使得上有的融合点； 同理当时， 当以T为圆心，为半径的圆与外切时， ∴， ∴， ∴， ∴（正值舍去）； 当以为圆心，为半径的圆与内切时， ∴， ∴， ∴， ∴（正值舍去）； ∴时，存在直线，使得上有的融合点； 综上所述，当或时存在直线，使得上有的融合点． 1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．解：由直线知：，，所以到直线的距离为：根据以上材料，解决下列问题： （1）求点到直线的距离． （2）已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值； （3）如图，设点为问题2中上的任意一点，点，为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值． 2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． （1）在点，，中，是“垂距点”的点为 ； （2）求函数的图象上的“垂距点”的坐标； （3）的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点和,给出如下定义:连接交于点,若点关于点的对称点在的内部，则称点是的外称点. （1）当的半径为时， ①在点中，的外称点是 ； ②若点为的外称点，且线段交于点，求的取值范围; （2）直线过点， 与轴交于点. 的圆心为, 半径为若线段上的所有点都是的外称点，请直接写出的取值范围. 4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作．已知点，，连接AB． （1）d（点O，AB）＝ ； （2）⊙O半径为r，若，直接写出r的取值范围； （3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点． ①当时，求出此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围． 5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，（或）． 已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r． （1）如图1，当时， ①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值． ②A2(1+，0)是否为⊙C的“2相关依附点”． （2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M， ①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值． ②当时，求r的取值范围． （3）若存在r的值使得直线与⊙C有