3.1单调性和最值第1课时 学历案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

驻马店高级中学 我努力 我骄傲 我自豪 3　函数 3.1函数的单调性和最值 【学习主题】函数的单调性和最值 新授课 【课时安排】2课时 【学习目标】 1.理解函数的单调性、最大(小)值的定义以及其几何意义(重点)。 2.会划分函数的单调区间，判断单调性，并会借助函数单调性求最大(小)值(重难点)。 3.会求具体函数的单调区间及其最值，利用最值解决实际问题(重难点)。 【学情分析】 通过本节内容的学习，直接体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用， 提高学生逻辑推理、数学运算的能力． 【学法建议】 与组内成员讨论增函数与减函数的特点。课本例题与思考例题之间的联系与区别。 【学习过程】 1、 课前预习，发现问题 （一）预习本节教材并自主回答下列问题 问题1：单调性的概念有哪些关键词？请圈出 问题2：由函数单调性概念你会判断或者证明一个函数的单调性吗？ 问题3：你会求函数的单调区间？注意什么问题？ 问题4：什么是单调函数？ 问题5：函数的单调性有哪些应用？ （二）知识自测 1.函数的单调性概念 一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于 两数x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间I上是 ，有时也称函数y＝f(x)在区间I上是 . 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间I上，如果对于任意两数x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间I上是 ，有时也称函数y＝f(x)在区间I上是 ． 如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在 是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是 ，统称为 ． 2.　函数的单调区间 思考1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 3.　思考辨析，判断正误 1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　　) 2．用定义证明函数单调性时，可设x1<x2，也可设x1>x2.(　　) 3.若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(　　) 4.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数.(　　) 5.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.(　　) 【学习任务1】由函数图像判断单调性 例1.设 ，画出 的图像，并通过图像直观判断它的单调性. 【课堂评价1】请画出y＝ 与的图像，并分别通过图像直观判断它的单调性. 【课堂评价2】请画出 图像，并通过图像直观判断它的单调性 【课堂活动】请同学们分组探究并讨论 的图像该如何画，并通过图像直观判断它的单调性 【反思总结】　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 【课堂活动】请同学们分组合作交流，能否根据本节课本例2、例3、例4进行变式改编并探究出一般性的结论？ 【学习任务2】　函数单调性的证明 例2　求证：函数f(x)＝x＋ 在上单调递减，在[1，＋∞)上是单调递增. 【反思总结】　定义法证明或判断函数单调性的四个步骤 【课堂评价3】求证：函数 在 上单调递减，在[2，＋∞)上是单调递增. 【课堂评价4】.求证：函数 在 上单调递减，在 上是单调递增 例3.已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数． 【反思总结】因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值． 【课堂评价5】　已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数. 【学习任务3】　单调性的应用 例4.函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围. 【课堂评价6】：若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的递减区间为(－∞，4]，则a的值是什么？ 【课堂评价7】.若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2区间[2,4]