湖北省宜昌市宜都市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

宜都一中2023-2024学年度秋季学期期中考试试卷 高二数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. -19 B. -20 C. 20 D. 19 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（    ） A. B. C. D. 3. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为1，2）的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个随机事件是（ ），并说明理由． A. 至少有1个白球，都白球 B. 至少有1个白球，至少有1个红球 C. 恰有1个白球，恰有2个白球 D. 至少有1个白球，都是红球 4. 已知一组数据从小到大为4，5，6，8，，13，18，30，若这组数据的分位数是中位数的两倍，则（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 0或 C. D. 0或 6. 若方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ） A B. C. D. 8. 若直线：平分圆的面积，则的最小值为（ ）. A. 6 B. 8 C. 4 D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 10. 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果每次兑奖活动中奖概率都是，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ） A. 都中奖的概率为 B. 都没有中奖的概率为 C. 恰有一次中奖的概率为 D. 至少有一次中奖的概率为 11. 设有一组圆：，下列命题正确的是（ ） A. 不论如何变化，圆心始终一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为 12. 如图，正方体的棱长为1，分别为的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 平行线与间距离为________． 14. 已知，，，若，，，四点共面，则______． 15. 已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是__________． 16. 点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知. （1）求点到直线的距离； （2）求的外接圆的方程. 18. 如图，二面角的大小为，四边形与均为正方形，，，记． （1）请用表示，并求； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段的中点. （1）求证： （2）求三棱锥的体积. 20. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率. 21. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． （1）已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 22. 如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，． （1）证