精品解析：上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

七宝中学2023学年第一学期高二年级数学月考 一、填空题（4*6+5*6=54分） 1. 若直线平行于平面内的直线，且，则与的位置关系是______. 2. 已知，则__________． 3 已知，则______. 4. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心. 5. 正方体的棱长为，则到平面的距离为______. 6. 已知，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 7. 已知平面经过原点，且法向量为，点，则点到平面的距离为______. 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为______. 9. 如图，圆锥的底面直径和高均是1，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______. 10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 11. 二面角是，其内一点P到的距离分别为和，则点P到棱l的距离为_________． 12. 在四面体中，是边长为2等边三角形，平面，且，动点，分别在线段（含端点）上和所在平面中运动，满足.记的外心为，则的最大值是______. 二、选择题（4*2+5*2=18分） 13. 空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知，则函数图像必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 已知平面平面，，直线在平面内，直线在平面内，且，与均不垂直，则（ ） A. 与可能垂直，但不可能平行 B. 与可能垂直也可能平行 C. 与不可能垂直，但可能平行 D. 与不可能垂直，也不可能平行 16. 已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知定义在上的函数为偶函数，且． （1）求的解析式； （2）判断并用单调性定义证明在的单调性． 18. 如图，在四棱锥中，底面正方形ABCD的边长为2，底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为． （1）求PA的长度； （2）求异面直线AE与PD所成角的大小． 19. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm. （1）求石凳的体积； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 20. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为. （1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） （2）如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值； （3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学2023学年第一学期高二年级数学月考 一、填空题（4*6+5*6=54分） 1. 若直线平行于平面内直线，且，则与的位置关系是______. 【答案】 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理可得结论. 【详解】如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 故答案为：. 2. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 详解】解：由题意可知： . 3. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则及几何意义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 4. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心. 【答案】外 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而由求出，得到答案. 【详解】因为，，所以， 故， 因为，所以， 故是的外心. 故答案为：外 5. 正方体的棱长为，则到平面的距离为______.