4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时） 教学设计 1、 课时教学内容 掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题． 2、 课时教学目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3、 教学重点、难点 1. 重点： 等差数列的前n项和的应用 2. 难点：等差数列前n项和公式的推导方法 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题． 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 ① 前100项的和的问题． 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 环节二 观察分析，感知概念 问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？ 对于数列①，设，那么高斯的计算方法可以表示为 ． 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算． 问题2：你能用高斯的方法求吗？ 将上述方法推广到一般，可以得到： 当是偶数时，有 于是有 ． 当是奇数时，有 ． 所以，对任意正整数，都有 ． 环节三 抽象概括，形成概念 问题3：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？ 如果对公式作变形，可得 它相当于两个相加，而结果变成个相加． 受此启发，我们得到下面的方法： 将上述两式相加，可得 所以 环节四 辨析理解 深化概念 问题4：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和． 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ① ② 得 由此得到等差数列的前项和公式 （1） 对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和．另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示． 把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 （2） 将（1）变形可得，所以就是等差教列前项的平均数．实际上，我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前项和的．你还能发现这一特性的一些应用吗? 问题5：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ 环节五 概念应用，巩固内化 例6 已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 问题6：对于等差数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量? 分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得． 解：（1）因为，，根据公式，可得 ． （2）因为，，所以．根据公式，可得 ． （3）把，，代入，得 ． 整理，得 ． 解得 ，或(舍去)． 所以 ． 例7已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个关于与的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和． 解：由题意，知 ，． 把它们代入公式 ， 得 ， 解方程组，得 ． 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 探究 已知数列的前项和为，其中，，为常数，且．任取若干组，，，在电子表格中计算，，，，的值（图给出，，的情况），观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论． 环节六 归纳总结,反思提升 问题8请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列前n项和公式的推导过程． (3)由an与Sn的关系求an. (4)等差数列在实际问题中的应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想． 3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：教科书 练习 第24页 第 1,2,3题 习题4.2第24页 第1,2