4.2.2 等差数列的前n项和（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.2等差数列的前n项和（第2课时） 一、教材分析 (1)内容的本质 等差数列是一种具有特殊变化规律的数列，是定义在正整数集上的线性离散型函数，是反映运算规律的基本数学模型，在现实生活中有着广泛应用.等差数列的通项公式与前n项和公式是等差数列的重要性质.公式的探究与推导，是以等差数列的特征性质为依据(即在等差数列中，若且,则，以下特称“对称性”),这是从概念到性质再到应用的过程.实际上，公式推导过程中，方法的探寻要有根有据，这个根据就是数列的“等差性”和“对称性”,由此找到了前n项的“平均数”,从而实现了由加法到乘法的化归，也就是把不同数相加转化为相同数(即平均数)的自相加.一个数列如果没有“等差”这个特性，就不能直接用这种方法实现转化.可见，“把不同数的求和转化为相同数的求和”的运算方法，既是“倒序相加法”产生的基本线索，又是等差数列求和方法的认知基础，由“等差”所决定的运算中的规律性就是等差数列的本质特征。 (2)知识的上下位关系 等差数列是学生了解数列的概念和表示方法后学习的第一种特殊数列，本节内容既是研究等比数列的类比原型，又是今后研究级数的预备知识.等差数列的概念，既能强化学生对数列概念的进一步理解，加深其对数列作为特殊函数的本质认知，又能为特殊数列的研究提供方向，具有学习方式和思维方法上的引领作用.因此，等差数列具有承上启下的显著特点. (3)内容蕴含的数学思想和方法 等差数列的研究经历了“抽象一归纳—演绎一类比一应用”等一系列过程，蕴含了一些重要的数学思想方法.首先，等差数列概念的引入部分，突出了由对特殊数列各项关系、运算、性质的研究推广到对一般数列相应问题的研究，体现了由特殊到一般的数学思想；在等差数列概念的生成过程中，通过观察、猜想、验证、归纳、概括、总结等过程，最终抽象出等差数列概念的文字描述、符号表达、图形含义，强调了归纳思想的具体应用；类比函数的概念、性质研究等差数列的相应问题，特别是类比一次函数的单调性研究等差数列的单调性，蕴含着丰富的类比思想.其次，等差数列通项公式和等差数列前n项和公式的推导，历经了从“首尾配对法到分类讨论法再到倒序相加法”的认知过程，这个过程本身既是一种方法论的再现过程，又是领悟其中所蕴含的特殊与一般、化归与转化、分类与整合和数形结合等数学思想方法的心理过程，更是学会探索数学公式的思维过程. (4)内容的育人价值 首先，等差数列的研究过程充分体现了研究一个数学对象的基本路径，即“事实→概念→性质→应用”,有助于学生体会数学的整体性.其次，等差数列内容渗透了多元数学史素材，丰富本单元的文化内涵，有利于提升学生的人文素养.以等差数列的前n项和公式为例，从史学层面看，倒序相加法是历史上遗留下来的经典方法，高斯算法及其相关事迹的介绍，不仅可以再现数学家的“火热思考”,还可以激发学生研究数学的热情，使其感受前人严谨的治学精神；从美学层面看，等差数列前n项和公式的结构特征与图形表征的对称性、简洁性和直观性，都体现了对数学美的追求，蕴含着数学的美育价值；从哲学层面看，倒序相加法很好地解决了“化多为少”和“化繁为简”的问题，体现了数学的辩证思维.因此，等差数列的学习能有效提升学生抽象、归纳、类比研究问题的能力，发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养. 二、学情分析 (1)认知基础 类比研究函数的思路，学习了数列的概念后，就要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究，这是学生对数列知识的认知路径.在学习等差数列之前，学生已经了解了数列的概念、表示方法以及通项公式和数列的前n项和的概念，知道“数列是一种特殊的函数”,这些知识经验能够帮助学生分析等差数列的变化规律. (2)认知困难 ①在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，运算规律的发现是等差数列概念生成、等差数列前n项和公式推导的关键，但学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，难以用数学符号语言刻画“等差”规律. ②在归纳概括出等差数列的概念后，如何应用等差数列的概念去推导等差数列的通项公式成为本节学习的第二个难点. ③通过等差数列通项公式与一次函数的解析式的结构特征的类比，发现等差数列与一次函数的共性与差异是本节学习的第三个难点.教材中给出了“思考”,目的是让学生从数形结合的角度进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系，逐步深化学生对等差数列概念的理解，有利于后续进行判断，也可以更好地把握等差数列的性质. ④如何把高斯的首尾配对法自然地过渡到倒序相加法，是学生遇到的第四个难点.高斯方法是将与首尾两端等距离的两项配对，当n为偶数时，当然没有问题，而当n为奇数时，中间一项无“对”可凑，这既是首尾配对的局限性，也是一个难点所在.尽管这两种方法的共性本质都是如何“化不同为相同”,但两者的运算方法又有着形式上的差异，即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位.正是这种差异，导致了推导公式的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的?因此，怎样让推导过程能相对自然地呈现成为学生理解推导过程合理性的一个关键. (3)应对策略 ①要创设合理的情境，让学生自然观察生活中的等差现象，主动发现等差数列的等差特性.在情境中发现等差规律、提炼等差关系、抽象等差概念、完善符号语言，突破第一个难点. ②要铺设好问题，引导学生大胆猜想、主动论证等差数列的通项公式.从定义出发，借助等差数列的等差特性，通过叠加或迭代建立第n项与首项的直接联系，进而发现确定等差数列的基本量，突破第二个难点. ③要通过类比确定一次函数的要素得出确定等差数列的要素(首项、公差),既要重视用基本量思想充分认识的几何意义，还要借助信息技术直观类比等差数列的图象与一次函数的图象，体会任意两点(两项)确定一条直线(一个等差数列)的思路，感悟代数与几何的整体性，有效突破第三个难点. ④要提高认知站位，即把等差数列的通项公式和前n项和公式看成等差数列的重要性质，设计一条探究等差数列前n项和公式的路径突破第四个难点。 1）紧扣“两个对称”的相似性：一是要紧扣等差数列的“对称性”,让学生通过发掘高斯算法的本质，领会等差数列的“对称性”是支持“化不同为相同”的依据；二是要紧扣几何图形的“对称性”,通过类比梯形面积公式的推导方法，追溯毕达哥拉斯学派直观“形数”的研究启示，让学生体会“倒置”一个全等的图形，构造几何图形的“对称性”是将不规则图形化为规则图形的依据。借助这两个对称性质的相似性，就可以把几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，从而引导学生经历等差数列前n项和公式的再创造过程。 2）明确“三种方法”的差异性：一是明确高斯巧算用的是首尾配对法，而不是倒序相加法；二是明确首尾配对的局限性，分类讨论的必要性以及倒序相加的优越性，从而将这三种方法有机地融入到探究活动之中，形成自然衔接；三是明确从需要分类到不需分类，其过渡的关键是如何想到要从“倒推变形”中获得启发. 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 （二）课时目标要求 ①通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； ②通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； ③通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 四、重点难点 教学重点：等差数列前n项和的性质 教学难点：等差数列前n项和性质应用 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即建立等差数列模型：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 设计意图：通过实际生活情境问题引入新课，引导学生利用等差数列模型刻画实际问题，进一步体会等差数列前n项和公式的应用. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题1：从上述引例情境的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 师生活动：教师引导学生归纳出建立数列模型的基本步骤： 1）先将实际问题转化为数列问题，即用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量； 2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式建立关于未知量的方程； 3）通过解方程使问题获解. 变式探究： 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有这样一个问题：“今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何?”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织5尺，一个月(按30天计)共织390尺，问：每天多织多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，试计算该女子每天多织的布为多少尺. 师生活动：教师引导学生将该数学史问题转化成等差数列的求和问题，即该女子每天织布的数量从第1天起依次构成一个首项为5的等差数列,从而利用前30项的和,即可求出该数列的公差，也就是该女子每天多织的布的数量. 解：设该女子从第1天到第30天，各天的织布数数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个首项为的等差数列，且． 由，可得． 因此，该女子每天多织的布为尺. 设计意图：通过等差数列前n项和公式的综合应用，让学生进一步体会建立数列模型解决实际问题的思想方法。 问题2.已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 师生活动：教师和学生一起复习已知前n项和求通项公式的方法，即，再结合通项公式探究. 当时，， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 综上，已知数列的前项和为，其中，，为常数，且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 环节三：根据新知，简单应用 例1.已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 解法1：由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 变式训练： 1.已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为， 依题意， 所以异号，而，所以，，A选项正确. 则， 所以，B选项正确. 由于，则，所以等差数列的前项为负数， 从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误. ， 所以当时，n的最大值为10，所以D选项正确. 故选：ABD 2．在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的n值． 【答案】当或时，取得最小值，最小值为． 【详解】方法一（单调性法）设等差数列的首项为，公差为d， 则有解得， 则， ∴ 当即时，有最小值， 解得， ∴当或时，取得最小值，最小值为． 方法二（配方法）由方法一得 ∴， ∴当或时，取得最小值，最小值为． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：等差数列前n项和的性质应用 1．片段和性质 例. 若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值. 【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴ ， ∴ ，∴． 故选:C. 2.等差数列前n项和,则也为等差数列 例．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由，可得，即．又， 所以，所以．故答案为：. 3.等差数列的前项和分别为，则. 例．等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 【答案】 【详解】方法一：由等差数列性质可得， 同理可得， 所以，由可得； 因此. 方法二：因为， 所以不妨令 所以， ， 故答案为： 4.单调性与对称性． 例.在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 故选：D 方法规律：等差数列前n项和的性质 （1）若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 （2）若分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则，也成等差数列，公差为 （3）设两个等差数列的前项和分别为，则. （4）在等差数列中，若，则 变式训练： 1．设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列， 且，，可知首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 2．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 3．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】方法一：因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 方法二：由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， 所以. 故选：A． 4．已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】利用公差，如，，，，…，0，1，2，…与，可判断结论. 【详解】若公差，如数列，，，，…，0，1，2，…，则数列的前项和先减再增； 若是递增数列，如，则为常数列也为等差数列，且； 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确. 故选：D. 题型二：等差数列，求数列的前n项和问题 例．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)，数列是等差数列，理由见解答；(2) 【详解】（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 变式训练： 已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可知，，， 所以，解得：，， 所以； （2）由（1）可知，，，当时，， 所以当时， ， 当时， ， ， ， 所以. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1. 本节课学习了等差数列前n项和的哪些性质？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页练习第3题 教科书第25页习题4.2第7，8题 拓展作业：教科书第24页练习第5题 巩固作业答案： 3．已知等差数列，，，…的前项和为，是否存在最大（小）值?如果存在，求出取得最值时的值． 3．解：(方法一)由题意知，，，， 令，则，数列的前9项为负项，从第10项起为正项，存在最小值，此时． （方法二）由题意知，，，， 对应图象的对称轴为直线，存在最小值，此时． 7.已知是等差数列的前项和． （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前项和，若，，求． 7．解析：（1）证明：设等差数列的公差为，则，， 又（常数），是等差数列． （2）是等差数列，设，则数列是等差数列，设其公差为，则，， ，，． 8．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 8．解析：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项．共有个，也是等差数列，它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472． 拓展作业： 5．已知数列的通项公式为，前项和为．求取得最小值时的值． 5．解析：令，得或．又， 所以数列满足，，，，…，，，，…， 取得最小值时． 环节七板书设计 4.2.1等差数列前n项和 1.等差数列前n项和的应用 例1. 例2 2. 等差数列前n项和的最值 例3 3. 等差数列前n项和的性质 4. 含绝对值问题的等差数列前n项和 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$