4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时） 教学设计 1、 课时教学内容 等差数列的前项和公式的应用. 2、 课时教学目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题． 3、 教学重点、难点 1. 重点:等差数列的前项和公式的应用. 2. 难点:综合与灵活运用等差数列的前项和公式. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位． 环节二 观察分析，感知概念 例9已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 环节三 抽象概括，形成概念 解法1：由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，； 当时，； 当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 环节四 辨析理解 深化概念 解法2：因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 环节五 概念应用，巩固内化 想一想，这是为什么？ 思考 在例9中，当时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前项和的最大值问题． 环节六 归纳总结,反思提升 问题 请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1.公式可化是关于的表达式:.当时,关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式,即点在其相应的二次函数的图象上,这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数,它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 2.等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：教科书 练习 第24页 第 4,5题 习题4.2第24页 第5,6,7,8题. 练习（第24页） 1．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？ 1．解析：从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取奖金数是以100为首项，10为公差的等差数列，设为，则，，． ∴共获奖金(元)． ，∴第二种领奖方式获奖者受益更多． 2．已知数列的前项和．求这个数列的通项公式． 2．解析：当时，． 当时，，． 3．已知等差数列，，，…的前项和为，是否存在最大（小）值?如果存在，求出取得最值时的值． 3．解：(方法一)由题意知，，，， 令，则，数列的前9项为负项，从第10项起为正项，存在最小值，此时． （方法二）由题意知，，，， 对应图象的对称轴为直线，存在最小值，此时． 4．求集合且中元素的个数，并求这些元素的和． 4．解析：，，，， 最大取30，最小取1，∴集合中共有30个元素．其和． *5．已知数列的通项公式为，前项和为．求取得最小值时的值． 5．解析：令，得或．又， 所以数列满足，，，，…，，，，…， 取得最小值时． 习题4.2（第24页） 1．根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量： （1），，，求及； （2），，，求及； （3），，，求及； （4），，，求及． 1．解析：（1）将，，．代入，得，解得． 将，，代入，得，解得． （2）将，，分别代入，， 得．解这个方程组，得，． （3）将，，，代入，得，解得．将，，代入得． （4）将，，代入，得．解得． 将，，代入，得． 提示：等差数列的通向公式及前项和公式共涉及