第二章 一元二次函数、方程和不等式 拓展培优(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

02拓展培优 基本不等式求最值的应用技巧 1 应用基本不等式求最值时，三个必要条件“一正、二定、三相等”是相关考题“瞄准”的焦点．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而如何获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定了基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键． 1 1 [答案]　8 1 1 [答案]　4 1 类型三　配凑——配式配系数，凑出定值 有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式配系数的方法，使配好的代换式与待求值式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． [典例3]　已知0<x<2，则x(5－2x)的最大值为____________． 1 1 1 C 1 1 [答案]　3 1 D 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 1 $$ 03拓展培优 一元高次不等式、含绝对值的不等式 1 最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解一元高次不等式的基本思想方法是“化归”，即将高次不等式转化为低次不等式来求解．根据绝对值的意义：|x|>a(a>0)⇔x>a或x<－a；|x|<a(a>0)⇔－a<x<a所以解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号． 1 类型一　一元高次不等式的解法 (1)不等式组法 将高次不等式f(x)>0(<0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各不等式组解集的并集． 1 (2)列表法 解题步骤如下： ①将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式(一次因式或二次不可约因式)乘积的形式(各因式中x最高次数的项的系数符号化为“＋”)，求出相应方程的根； ②根据不等式对应方程的根把x的取值范围分成几部分，并按端点值的大小横向排列(由小到大)，相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列)； 1 ③判断各取值范围内因式的符号，表格最下面一行是各取值范围内对应的各因式乘积的符号； ④根据最下面一行积的符号写出不等式的解集． (3)穿根引线法(零点分段法) 用穿根引线法解一元高次不等式非常方便，因此应熟练掌握．其解题步骤如下． ①分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式(一次因式或二次不可约因式)的乘积的形式，并将各因式中x最高次数的项的系数化为“＋”． 1 ②求出相应方程的根，并在数轴上表示出来． ③由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点．穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则(即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴)．简称“奇过偶不过”． ④若不等式(x最高次数的项的系数符号化为“＋”后)“>0”，则找“线”在数轴上方对应的x的取值范围；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方对应的x的取值范围． 1 [典例1]　求不等式(x＋2)(x2－x－12)>0的解集． 1 列表如下. 由上表可知，原不等式的解集为{x|x>4或－3<x<－2}．   x<－3 －3<x<－2 －2<x<4 x>4 x＋3 － ＋ ＋ ＋ x＋2 － － ＋ ＋ x－4 － － － ＋ (x＋2)(x＋3)(x－4) － ＋ － ＋ 1 法三：方程(x＋2)(x2－x－12)＝(x＋2)(x＋3)(x－4)＝0的根为x1＝－2，x2＝－3，x3＝4. 将－3，－2，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起，依次穿过这些点，则不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的x的取值范围(如图所示)． 故原不等式的解集为{x|x>4或－3<x<－2}． 1 1 1 [典例3]　设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　设不等式x2－5x<0的解集为A 则A＝{x|0<x<5}， 由|x－1|<1得－1<x－1<1，∴0<x<2. 设|x－1|<1的解集为B，则B＝{x|0<x<2}，AB，∴“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件． B 1 [典例4]　求不等式|x－4|＋|x－1|≤7的解集． [解]　法一：(分类讨论法) 当x≤1时，原不等式可化为4－x＋1－x≤7，解得x≥－1， 所以－1≤x≤1； 当1<x≤4时，原不等式可化为4－x＋x－1≤7，即3≤7，显然成立， 所以1<x≤4； 当x>4时，原不等式可化为x－4＋x－1≤7，解得x≤6，所以4<x≤6. 综上，原不等式的解集为{x|－1≤x≤6} 法二：(几何法)根据绝对值的几何意义知，在数轴上，表示x的