第一章 拓展培优 集合的新定义问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

以集合为背景的创新问题，常见的有新概念、新运算、新公式、新法则等，解题关键是把有关新定义的本质弄清楚，通过分析，明确要解决的问题，借助有关新定义并运用所学的集合有关性质解题． 类型一　定义集合的新概念 [典例1]　(经典高考题)设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是(　　) A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S [解析]　法一：题目中x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4，则(2，3，4)∈S，(1，2，4)∈S，即(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立． 法二：因为(x，y，z)∈S，所以x，y，z的大小关系有3种情况，同理，z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知x，y，z，w的大小关系有4种情况，均符合(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S. [答案]　B 类型二　定义集合的新运算 [典例2]　定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中元素的个数为(　　) A．0　　 B．2　　 C．3　　 D．6 [解析]　∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0，2，4}，故集合A*B中的元素的个数为3. [答案]　C 类型三　定义集合的新性质 [典例3]　集合A具有以下性质： (1)0∈A，1∈A； (2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A是“好集”． 则下列命题正确的个数是(　　) ①若集合B中含有－1，0，1三个元素，则B是“好集”； ②有理数集Q是“好集”； ③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A． [答案]　C 学科网（北京）股份有限公司 $$