第七章 复数 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课 专题一　复数的四则运算与概念 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式． 1．复数的四则运算 　(1)(2022·新高考全国Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：D　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.故选D. (2)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 解析：C　＝＝＝－＋i. 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化． 在运算的过程中常用的公式有： (1)i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． (2)(1±i)2＝±2i. (3)(±i)3＝－1，＝1. 1．若z＝－，则z100＋z50＋1的值等于___________． 解析：因为z2＝(－)2＝－i，所以z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i. 答案：－i 2．复数的概念与四则运算综合 　(1)(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 解析：B　法一：依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以|z|＝＝5. 法二：依题意可得i2·z＝(3－4i)i，所以z＝－4－3i，则|z|＝＝5. (2)(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 解析：D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝ ＝2.故选D. 复数的模的运算性质 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|； (2)＝(z2≠0)； (3)|zn|＝|z|n(n∈N*)． 2．已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|＝(　　) A. B． C． D．2 解析：B　z＝＝＝－1＋2i，|z|＝＝.故选B. 3．复数运算与复数的几何意义的综合 　复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　∵z＝＝＝＝2＋2i， ∴复数z在复平面内对应的点的坐标是(2，2)，故该点在第一象限． 通过复数运算将已知复数化为a＋bi形式后再根据几何意义确定对应点判断所在象限． 3．“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　z＝＝－a＝－a－3i在复平面内对应的点在第三象限，则a＞0，易知“a＞0”是“a≥0”的充分不必要条件． 专题二　复数问题中的数学思想 1．函数与方程思想 在解决复数问题时，常常需要根据有关条件列方程(组)，再根据函数的性质解决问题． 　已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)和z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(θ∈R)，若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解：由题设及复数相等的定义，知m＝2cos θ，且4－m2＝λ＋3sin θ，消去参数m，得λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4－. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝时，λmin＝－； 当sin θ＝－1时，λmax＝7. 故－≤λ≤7，即λ∈. 复数相等的充要条件，蕴含着方程的思想，而消元后，本题就转化为函数求最大值、最小值问题． 4．已知i是虚数单位，若(m2－1)＋(m2－3m＋2)i是纯虚数，则实数m的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．1或2 解析：B　由(m2－1)＋(m2－3m＋2)i是纯虚数，得解得m＝－1.故选B. 2．化归与转化思想 在复数问题中，化归与转化的思想方法主要是指利用复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题来解决的数学思想方法． 　已知复平面上A，B两点对应的复数分别为1和i，设线段AB上的点所对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，求复数z2对应的点的集合． 解：由题意知，A，B两点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，故线段AB在直线y＝1－x上． ∵z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点(a，b)在线段AB上，∴b＝1－a，且0≤a≤1，0≤b≤1，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 设z2所对应的点的坐标为(x，y)， 则∵b＝1－a. ∴ 消去a，得y＝2－2， 化简得2y＝－x2＋1，y＝－x2＋. ∵x＝2a－1，0≤a≤1，∴－1≤