2.3.2 圆的一般方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．3.2　圆的一般方程 [素养目标]　1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，重点培养直观想象核心素养． 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，重点提升数学运算核心素养． 　圆的一般方程 1．圆的一般方程 一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0． 在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，其中D，E，F都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程． 2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心， 以为半径的圆 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点，点的坐标为 [点睛] (1)同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2一样，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中也有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆． (2)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (3)判断点P(x0，y0)与圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系的方法如下表所示： 位置关系 代数关系 点P在圆M上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点P在圆M外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点P在圆M内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　) (2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1　　 B．1　　　 C．3　　 D．－3 解析：选B．∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1. 3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 解析：选D．由配方法得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，所以方程表示点(－a，－b)． 4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　) A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0 C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0 解析：选D．因为圆过原点，所以F＝0，又圆心在y＝x上，所以D＝E≠0. 二元二次方程与圆的关系(小组探究) 　(课本例2拓展)(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6，3　　　　　　 B．－4，6，3 C．－4，6，－3 D．4，－6，－3 (2)(教材共享·北师好题)讨论方程λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2表示的是怎样的图形． 【尝试解答】　(1)圆心为， 所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6， 又R＝ ＝4， 将D＝4，E＝－6代入得F＝－3. 故选D． (2)将原方程整理为(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0. ① 当λ＝1时，方程①是一元一次方程6x－9＝0，表示与x轴垂直的直线． 当λ≠1时，方程①可进一步整理为＋y2＝.　② 当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形； 当λ＝0时，方程②只有一组解故原方程表示一个点(3，0)； 当λ>0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点，半径为的圆． 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 1．(2022·陕西省宝鸡市期中)已知定点P(m，2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0内，则实数m的取值范围为________． 解析：∵点P(m，2)在圆内， ∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m<0，解得m<－2. 又方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆， ∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)>0， 解得m<. 故实数m的取值范围为(－∞，