2.3.1 圆的标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 [素养目标]　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，重点培养数学抽象核心素养.2.能根据所给条件灵活运用圆的有关几何性质，求圆的标准方程，重点提升数学运算核心素养． 　圆的标准方程 圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2． 　点与圆的位置关系 设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则： 点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r； 点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔|PC|>r； 点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔|PC|<r. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(x＋2)2－(y－3)2＝4是表示以(－2，3)为圆心，以2为半径的圆．(　　) (2)在平面直角坐标系中，只要确定了圆心和半径，那这个圆的标准方程就确定了．(　　) (3)与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为(x－R)2＋(y－R)2＝R2(其中R为圆的半径)．(　　) (4)函数y＝(r>0)的图象是以(0，0)为圆心，半径为r的位于x轴上方的半圆弧．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A．(－1，5)，　　　　 B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 解析：选B．由(x－1)2＋(y＋5)2＝3，得(x－1)2＋[y－(－5)]2＝()2，故圆心为(1，－5)，半径长为. 3．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 解析：选A．因为＝>，故点P(a，10)在圆外． 4．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为______． 解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5 求圆的标准方程(变通探究) 　(课本例1、例2拓展)(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 (2)已知圆过点A(1，－1)，B(－1，1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 【尝试解答】　(1)∵圆心在y轴上，设圆心(0，m)，依题意＝1解得m＝2. ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A． 【答案】　A (2)解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二　∵圆心C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设圆心C的坐标为(a，2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴＝， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法三　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 【变式拓展】 　若本例(2)中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”去掉，其他条件不变，试求周长最小的圆的方程． 解：经过A，B两点且周长最小即半径最小，故应是以AB为直径的圆．又AB中点为(0，0)，半径R＝.所求圆的方程为x2＋y2＝2. 1．直接法求圆的方程 圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法，圆心(a，b)、半径为r 特殊位置 标准方程 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 3.利用圆的性质求方程 求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等． 1．(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． (2)已知△AOB的三个顶点分别