2.2.4 点到直线的距离-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．2.4　点到直线的距离 [素养目标]　探索并掌握点到直线的距离公式、两条平行直线之间的距离公式，并能灵活应用此公式解决有关距离问题，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 　点到直线的距离 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d： (1)d＝； (2)ν＝(A，B)是直线l的一个法向量，P1(x1，y1)是直线l上的任意一点，则P(x0，y0)到直线l的距离为d＝． 　两条平行直线之间的距离 两条平行线之间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d，则d＝(A，B不全为0，C1≠C2)． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．点(－1，2)到直线2x－1＝0的距离为(　　) A．　　　 B．　　　　 C．1　　　 D．3 解析：选B．直线即为x＝， 所以所求的点到直线的距离d＝＝. 3．若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝__________________． 答案：±5 4．两平行直线3x－4y＋1＝0与ax－8y＋c＝0的距离为3，则a＝________，c＝________． 解析：由题意得＝，所以a＝6. 直线3x－4y＋1＝0即为6x－8y＋2＝0. 由平行线间的距离公式得＝3. 所以|2－c|＝30.即c＝－28或c＝32. 答案：6　－28或32 点到直线的距离公式的应用(变通探究) 　(课本例1拓展)求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程． 【尝试解答】　解法一　设直线的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. 由＝， 解得k＝0，或k＝－. 故直线的方程为y＝1或x＋2y＝0. 当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线l. 解法二　当l∥AB或l过AB中点时，满足点A，B到l的距离相等． 若l∥AB，由于kAB＝－， 则直线l的方程为x＋2y＝0. 若l过AB的中点N(1，1)，则直线l的方程为y＝1. 故直线l的方程为y＝1或x＋2y＝0. 1．应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 2．用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在时是否满足题意． 1．(2022·江苏省无锡市期末)经过点P(－3，5)，且原点到其距离为3的直线方程为________． 解析：当直线斜率存在时，∵直线过点P(－3，5)，∴可设所求直线的方程为y－5＝k(x＋3)，化为一般式得kx－y＋3k＋5＝0，∴原点到该直线的距离d＝＝3，解得k＝－.故所求直线的方程为y－5＝－(x＋3)，即8x＋15y－51＝0. 当直线斜率不存在时， 过点P(－3，5)的直线方程为x＝－3， 此时原点到直线x＝－3的距离d＝|0＋3|＝3，符合题意．综上可得，所求直线的方程为8x＋15y－51＝0或x＋3＝0. 答案：8x＋15y－51＝0或x＋3＝0 两条平行线间的距离公式的应用(小组探究) 　(课本练习B T3改编)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程． 【尝试解答】　解法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 ＝，由题意得＝2，所以C＝32或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 解法二　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两条平行直线间的距离公式，得2＝，解得C＝32或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式． (2)应用两平行线间的距离公式d＝时，两直线方程必须是一般形式，而且x，y的系数对应相等． 2．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． 解析：因为两直线平行，所以3m－1×6＝0，m＝2. 解法一　在直线3x＋y－3＝0上取点(0，3)，代入点到直线的距离公式，得d＝＝. 解法二　将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝. 答案： 　距