2.2.3 两条直线的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．2.3　两条直线的位置关系 [素养目标]　1.能通过解方程组探求两条直线相交、平行与重合的条件，重点培养直观想象核心素养． 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，并能解决与平行或垂直的相关问题．重点提升数学运算，逻辑推理核心素养． 　两条直线的相交、平行与重合 1．利用直线的斜截式方程判断直线的位置关系 若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 2．利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，v1＝(A1，B1)，v2＝(A2，B2)分别是直线l1，l2的法向量． (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2；重合的充要条件是C1＝C2． 　两条直线的垂直 1．两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直． 2．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则：l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 3．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2.(　　) (2)若直线l1∥l2，则直线l1与l2的斜率相等．(　　) (3)若直线l1⊥直线l2，则它们的斜率之间一定有kl1·kl2＝－1成立．(　　) (4)若两条直线l1，l2的斜率不相等，则这两条直线不平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．直线2x＋3y＋1＝0和直线3x＋2y－4＝0的位置关系为(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．以上都不对 答案：C 3．经过(m，3)与(2，m)的直线l与斜率为－4的直线相互垂直，则m的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 4．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________． 答案：－1 两条直线的交点问题(小组探究) 　(课本例1、例2延伸)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 【尝试解答】　解法一　由方程组 得 ∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行， ∴直线l的斜率k＝－3. ∴根据点斜式有y－＝－3， 即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 解法二　∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， ∴可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行， ∴＝≠，得λ＝. 从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 两条直线的交点坐标就是联立方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点坐标，再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求出待定系数即可． 1．已知A(1，2)，B(2，0)，P(0，3)，Q(－1，1)，M(1，0)，N(－4，0)六点，直线AB，PQ，MN能围成一个三角形吗？为什么？ 解：由题意，得直线AB的方程为2x＋y－4＝0， 直线PQ的方程为2x－y＋3＝0， 直线MN的方程为y＝0， 所以三条直线间没有平行关系． 由得 将点的坐标代入方程2x＋y－4＝0，可知方程不成立，所以三条直线没有交于一点，所以直线AB，PQ，MN能围成一个三角形． 两条直线位置关系的判定及应用(综合探究) 　(课本例3拓展)(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 【审题指导】　本题既可以用直线一般式方程形式判断，也可以用斜率的关系求解，但需考虑斜率不存在的情况． 【素养立意】　本题主要考查两条直线平行与垂直关系的应用，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养． 【尝试解答】　(1)解法一　由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0. l2：mx＋3y－2＝0. ①当m＝0时， 显然l1与l2不平行． ②当m≠0时