2.2.2 直线的方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．2.2　直线的方程 [素养目标]　1.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系，重点培养数学抽象核心素养．　2.灵活运用恰当的方式求直线的方程，提升数学运算、直观想象核心素养． 　直线的点斜式方程与斜截式方程 1．直线的方程和方程的直线 一般地，如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线． 2．已知P0(x0，y0)是直线l上一点，直线l的方程 (1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：x＝x0． (2)如果直线l的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)，①因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程． (3)如果已知P0(x0，y0)是直线l上的一点，而且l的斜率为k，则直线的一个方向向量为a＝(1，k)；设P(x，y)为直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与a共线，因为＝(x－x0，y－y0)，所以y－y0＝k(x－x0)． 3．直线的斜截式方程 (1)截距：一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．一条直线在y轴上的截距简称为截距． (2)直线的斜截式方程：已知直线的斜率为k，截距为b，方程y＝kx＋b由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程． [点睛] (1)点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在，当直线l的倾斜角为90°时，直线l的斜率不存在，这时直线l的方程不能用点斜式表示，此时直线l的方程可表示为x－x0＝0或x＝x0. (2)斜截式方程与一次函数的表达式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数的表达式；当k＝0时，y＝b，不是一次函数的表达式．故一次函数的表达式y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程． (3)斜截式方程y＝kx＋b中的截距b实质上是直线与y轴交点的纵坐标，而直线与y轴的交点到原点的距离为|b|. 　直线的两点式方程与截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，设P(x，y)为平面直角坐标系中一点，则＝(x－x1，y－y1)，P在直线l2上的充要条件是与共线，即(x－x1)(y2－y1)＝(x2－x1)(y－y1)，这就是直线l的方程． (2)当x2－x1≠0且y2－y1≠0，直线l的方程为＝．这种形式的直线方程由直线l的两点确定，称为直线的两点式方程． 2．直线的截距式方程 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且ab≠0，则得直线方程＋＝1． [点睛] (1)＝(x1≠x2，y1≠y2)不能表示斜率不存在以及斜率为0的直线． (2)两点式方程可变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，在此方程中，不再有x1≠x2，y1≠y2的限制，因而此方程可以表示过点(x1，y1)，(x2，y2)的直线(包含与x轴、y轴垂直的直线)． 　直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2＋B2≠0)． 2．关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)： (1)如果B≠0，则方程可以化为：y＝－x－．它表示的斜率为－，且截距为－的直线． (2)如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在，且过点的直线． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点P的直线都可用点斜式写出．(　　) (2)过点P(x0，y0)且与x轴垂直的直线方程是y＝y0.(　　) (3)＝k表示过点P(x0，y0)的直线．(　　) (4)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线．(　　) (5)直线的一般式方程可表示任意一条直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：选C．方程可变形为y＋2＝－(x＋1)． ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 3．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．