1.2.5 空间中的距离-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2.5　空间中的距离 [素养目标]　1.理解空间两点的距离，点到平面的距离、直线与平面的距离的概念，重点培养数学抽象核心素养．　2.能够用向量法求空间中的距离问题，重点提升数学运算，逻辑推理核心素养． 　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长，因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，因此可通过向量来求空间中两点之间的距离． 　点到直线的距离 点到直线的距离：给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 　点到平面的距离 1．点到平面的距离：给定空间中的平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． 2．一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内的一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离：d＝． 　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1．定义 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． 2．向量法求直线与平面、平面与平面的距离 (1)直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A和B分别是l上和平面α内的点，则直线l与平面α之间的距离为：d＝． (2)平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为：d＝． [预习诊断] 1．若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A.　　　　　　 B.2 C. D. 解析：选D.由题意＝(＋)＝，＝－＝，＝ ＝. 2．已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成的角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为(　　) A. B. C. D.3 解析：选A.如图，作AE⊥α于点E，又AC＝＝2， 所以AE＝ACsin 60°＝. 3．过Rt△ABC的直角顶点C作线段CD垂直于这个三角形所在的平面α，已知CA＝3，CB＝4，CD＝1，则点D到直线AB的距离为______． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 则相关各点坐标为D(0，0，1)，A(3，0，0)，B(0，4，0)．点D到AB的距离为d＝||·sin〈，〉， 又cos〈，〉＝ ＝＝， 从而sin〈，〉＝， 所以d＝||·sin〈，〉＝2.6， 所以点D到AB的距离是2.6. 答案：2.6 4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，1，1)，原点O(0，0，0)在平面α内，则点P(4，5，3)到α的距离为________． 解析：＝(4，5，3)，点P到平面α的 距离为＝＝＝4. 答案：4 求点到直线的距离(变通探究) 　(课本例2迁移)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 【尝试解答】　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，而＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝ ＝ ＝. 【变式拓展】 　若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC­A1B1C1中所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离． 解：以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(1，，2)，所以A1C1的方向向量＝(－1，，0)，而＝(1，，2)，所以点B到直线A1C1的距离为 d＝ ＝ ＝＝. 向量法求点到直线距离的步骤 第一步：依据图形先求出直线的单位方向向量s； 第二步：在直线上任取一点M(注：可选择特殊便于计算的点)，计算点M与直线外的点N的方向向量； 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝ . 1．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________． 解析：以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P， 所以＝(－4，3，0)，＝， 所以在上的投影长为＝， 所以P到AB的距离为