1.2.2 空间中的平面与空间向量-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2.2　空间中的平面与空间向量 [素养目标]　1.掌握平面的法向量概念、性质和求法，会利用平面的法向量证明有关线面、面面平行与垂直，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养．　2.掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用其解决有关线线垂直问题，重点提升直观想象核心素养． 　平面的法向量 1．平面法向量的概念 如果α是空间中的一平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 2．平面法向量的性质 (1)直线l，平面α，m是直线l的任意一个方向向量．l⊥α⇔m⊥α，m是平面α的法向量； (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； (3)如果n是平面α的法向量，A为平面α上的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量⊥n，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 3．利用平面法向量判定直线与平面，平面与平面的位置关系 (1)如果ν是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量.n∥ν⇔l⊥α，n⊥ν⇔l∥α，或l⊂α． (2)如果n1是平面α1的法向量，n2是平面α2的法向量．n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合． 　三垂线定理及其逆定理 1．射影的概念 已知空间中的平面α以及一点A，过点A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)，如图1，图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． (3)如图2，AB是平面α的斜线，AO⊥α，BO是AB在α内的射影，l⊂α，若l⊥BO，则l⊥AB；反之，若l⊥AB，则l⊥BO． [点睛] 三垂线定理及其逆定理这两个定理中，“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立．这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知：只有平面内的直线满足和斜线的射影(或斜线)垂直时，才能保证该直线垂直于斜线与垂线所在的平面，从而由线面垂直推出线线垂直． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的．(　　) (2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　　) (3)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若平面α、β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，ν＝(－3，－6，6)，则(　　) A．α∥β　　　　　　　 B.α⊥β C．α、β相交但不垂直 D.以上均不正确 解析：选A.∵u＝(1，2，－2)，ν＝(－3，－6，6)＝－3(1，2，－2)＝－3u.∴α∥β. 3．下列命题中，正确的命题是(　　) A．若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b B．若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b C．若a是平面α的斜线，b是平面α内的一条直线，且b垂直于a在α内的射影，则a⊥b D．若a是平面α的斜线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b 解析：选C.根据三垂线定理判断C项正确，故选C. 求平面的一个法向量(小组探究) 　(课本例2拓展)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 【尝试解答】　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E(0，，)，B(1，0，0)，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝， 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 1．(多选题)平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(－1，1，0)