1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [素养目标]　1.理解空间向量的坐标表示，掌握向量的运算与坐标的关系及应用，重点提升数学抽象核心素养．　2.理解空间直角坐标系，并能应用坐标系表示点及向量的坐标，重点培养数学运算核心素养． 　空间中向量的坐标 1．单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． 2．空间向量的坐标 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 　空间向量的运算与坐标的关系及空间向量的平行与垂直 空间中两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量运算 坐标表示 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2) ua＋vb (ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2) a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 a∥b a∥b⇔＝＝(a的每一个坐标分量不为零) a⊥b a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 |a| |a|＝＝ cos〈a，b〉 cos〈a，b〉＝＝ 　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 1．空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. (2)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴，y轴画成水平放置，x轴正方向和y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示． (3)建立了空间直角坐标Oxyz之后，如上图所示，设M为空间中一点，过M分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，设这些平面与x轴，y轴，z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴，z轴上的坐标分别为x，y，z.点M与三个有序实数组(x，y，z)之间有了一一对应关系．空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定．因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 2．空间向量坐标的应用 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)AB＝||＝． (3)设线段AB的中点为M(x，y，z)， 则点M的坐标为． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝.(　　) (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) (4)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(　　) A.，－6　　　　　　 B.－，6 C.－6， D.6，－ 解析：选A.若a⊥b，则2×(－4)＋(－1)×2＋3×x＝0，解得x＝. 若a∥b，则＝＝，解得x＝－6. 3．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为(　　) A．30° B.45° C．60° D.90° 解析：选C.＝(－1，1，0)，＝(0，3，3)，cos〈，〉＝＝，所以与的夹角为60°，故选C. 4．设A(2，－3，－1)，B(－6，5，3)是空间直角坐标系中的两点，则＝________，||＝________． 解析：∵A(2，－3，－1)，B(－6，5，3) ∴＝(－8，8，4)， ||＝＝12. 答案：(－8，8，4)　12 空间中向量的坐标表示(合作探究) 　(本节例1拓展)如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 【尝试解答】　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，如图①. 解法一　∵＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3， ∴＝. 解法