1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 [素养目标]　1.理解空间向量夹角的意义及表示方法，重点培养直观想象核心素养． 2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质，并能简单应用，重点提升数学运算核心素养． 　空间向量的夹角 1．空间向量夹角的概念 平面内， 给定两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉． 2．空间向量夹角的范围 由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间中两个非零向量之间的夹角也可按类似上述的方式定义，但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间中选定一点”．特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b互相垂直，记作a⊥b；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都垂直． 　空间向量的数量积 1．空间向量数量积的概念 空间中，两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 而且，两个向量数量积的几何意义与投影有关，如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′，a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. 2．空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2＝a2； (3)|a·b|≤|a||b|； (4)(λa)·b＝λ(a·b)； (5)a·b＝b·a(交换律)； (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [点睛] 对空间向量数量积的理解 (1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． (3)若a·b＝k(k≠0)，则不能得出a＝，即空间向量不能进行除法运算． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　　) (2)空间向量的数量积仍是一个向量．(　　) (3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (4)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．|a＋b|＝|a－b|的充要条件是(　　) A．a＝0或b＝0　　　 B.a∥b C．a·b＝0 D.|a|＝|b| 答案：C 3．下列式子正确的是(　　) A．|a|·a＝a2 B.(a·b)2＝a2·b2 C．(a·b)·c＝a·(b·c) D.|a·b|≤|a|·|b| 答案：D 4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C.－ D.0 解析：选D.∵＝－， ∴·＝·－·＝0， ∴〈，〉＝90°，故cos〈，〉＝0. 空间向量数量积的运算(小组探究) 　(课本例5改编)(一题多解)如图所示，已知四面体ABCD的每条棱的长度都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积． (1)·； (2)·； (3)·； (4)·. 【尝试解答】　解法一　由题意知，四面体ABCD为正四面体． (1)∵||＝||＝a，〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. (2)∵||＝a，||＝a，〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. (3)由题意知||＝a，||＝a， ∵∥且与方向相反， ∴〈，〉＝180°， ∴·＝a2cos 180°＝－a2. (4)由题意知||＝a，||＝a，与同向，∴〈，〉＝〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. 解法二　记＝a，＝b，＝c，则由题意可知|a|＝|b|＝|c|＝a，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝60°， 故a·b＝b·c＝a·c＝a·acos 60°＝. (1)·＝a·b＝. (2)∵＝－＝c－a，∴·＝c·(c－a)＝c2－c·a＝a2－＝. (3)＝＝－b， ∴·＝·b＝－b2＝－a2. (4)∵＝＝(c－a)，＝－＝b－a， ∴·＝(c－a)·(b－a)＝(c·b－c·a－a·b＋a2)＝＝a2. 1．在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等． 1．(1)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4， 求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)． (2)已知长方体ABCD-A′B′C′D′