1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [素养目标]　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念，重点培养数学抽象核心素养．　2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及它们的运算律，重点提升直观想象、逻辑推理核心素养． 　空间向量的概念 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模(长度). 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的. 单位向量 模等于1的向量称为单位向量，因此，e是单位向量的充要条件是|e|＝1． 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作a＝b. 向量平行 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或向量共线)，通常规定零向量与任意向量平行． 向量共面 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 　空间向量的加法运算 空间向量的加法 空间向量 的加法 给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则是向量a与b的和(为向量a与b的和向量)．向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝. 加法运 算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 　空间向量的线性运算 1．相反向量 给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a. 2．空间向量的减法 空间向量的减法也可以看成向量的加法，即a－b＝a＋(－b)，也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量． 3．数乘向量 同平面中的情形一样，给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量． 4．线性运算的运算律 同平面向量一样，空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算，空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有 (1)λa＋μa＝(λ＋μ)a， (2)λ(a＋b)＝λa＋λb． [点睛] 1．实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a等无法运算． 2．任何实数与向量的积仍是一个向量，空间向量的数乘运算可以把向量a的模扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1时)；可以不改变向量a的方向(当λ>0时)，也可以改变向量a的方向(当λ<0时)． 3．注意实数与向量的乘积的特殊情况；当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　　) (2)空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上．(　　) (3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是(　　) A.　　　　 B. C. D. 解析：选C.根据相等向量的定义，和相等的向量有，，，故选C. 3．化简－＋所得的结果是(　　) A.　　 B.　　　 C.0　　 D. 解析：选C.－＋＝＋＝0. 4．如图所示空间四边形ABCD中，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则－＋等于(　　) A. B.3 C.3 D.2 解析：选B.－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2 ＝3 . 空间向量的相关概念(小组探究) 　(1)(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ (2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD­A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， ①单位向量共有________个； ②写出模为的所有向量：______________． 【尝试解答】　(1)|a|＝|b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，则A项错误；相反向量方向相反，模相等，所以B项正确；C项显然不对；四边形ABCD若为平行四边形，则满足＋＝，不规则的四边形ABCD不满足此式，D