2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系 [素养目标]　1.通过类比直线与圆的位置关系，会判断直线与圆锥曲线的位置关系，重点培养数学抽象、直观想象核心素养．　2.会求直线与圆锥曲线相交时弦长、弦的中点及相关综合问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线相切 一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切． 注意：直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要不充分条件． 2．直线与圆锥曲线的位置关系判断 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆锥曲线C1：f(x，y)＝0，由即将直线l的方程与圆锥曲线C1的方程联立，消去y便得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(当然，也可以消去x得到关于y的方程)，通过方程解的情况判断直线l与圆锥曲线C1的位置关系，见下表： 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点 a＝0 b＝0 无解(线l是双曲线的渐近线) 无 b≠0 有一个解(线l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 一个 a≠0 Δ>0 两个不相等的解 两个 Δ＝0 两个相等的解 一个 Δ<0 无实数解 无 3.弦长公式 (1)一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． (2)若直线l与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于A，B两点，求弦AB长的方法： ①把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，得到点A，B的坐标，然后用两点间的距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦． ②不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．设直线方程为y＝kx＋m，与圆锥曲线F(x，y)＝0交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ ＝ ＝·． 或当k≠0时， |AB|＝·. 当k＝0时，直线平行于x轴，|AB|＝|x1－x2|. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．(　　) (2)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　) (3)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B.相切 C．相离 D.无法判断 解析：选A.解法一　直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交． 解法二　　联立直线与椭圆的方程，得消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交． 3．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交 B.相切 C．相离 D.相交或相切 解析：选D.当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切． 4．(多选题)若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4　　　 B.2 C．1　　　 D.－3 解析：选AD.因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故选AD. 5．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________． 解析：解法一　∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0，由方程组得交点A(0，－2)，B. 故|AB|＝ ＝＝. 解法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B的坐标为方程组的解， 消去y，得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝0. ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 答案： 直线与圆锥曲线位置关系的判断(小组探究) 　(课本例1例2综合)(教材共享·北师好题)讨论直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1的公共点的个数． 【尝试解答】　联立方程组 消去y，整理，得(1－k2)x2－2kx－2＝0. (1)当k＝1时，x＝－1. (2)当k＝－1时，x＝1. (3)当