2.7.1 抛物线的标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．7　抛物线及其方程 2．7.1　抛物线的标准方程 [素养目标]　1.理解抛物线的定义，标准方程及其推导过程，重点培养数学抽象核心素养． 2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用，重点提升数学运算核心素养． 　抛物线的定义 抛物线的定义：一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)． 　抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ [点睛] 1.抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0. 2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0，5)．(　　) 答案：(1)×　(2)× 2．抛物线x＝－2y2的准线方程是(　　) A．y＝　　　　　　　 B.y＝ C．x＝ D.x＝ 解析：选D.由x＝－2y2得y2＝－x，∴p＝，即准线x＝，故选D. 3．(多选题)若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　) A．(8，8) B.(8，－8) C．(－8，8) D.(－8，－8) 解析：选AB.设P(x0，y0)，依定义得x0＋＝10，即x0＝8， ∴y＝8×8，即y0＝±8.故P点坐标为(8，±8)，故选AB. 4．已知动点P到定点(2，0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________． 解析：由抛物线的定义得，P点的轨迹是以(2，0)为焦点，以x＝－2为准线的开口向右的抛物线，即P点轨迹方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x 求抛物线的标准方程(小组探究) 　(课本例1迁移)(多选题)(1)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝y　　　　　 B.x2＝12y C．x2＝－y D.x2＝－36y (2)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． ①准线方程为2x＋4＝0； ②焦点在x轴的正半轴，并且过点(3，－4)． 【尝试解答】　(1)抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y. 当a>0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－， 则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝. 因此，抛物线方程为y＝x2，即x2＝12y. 当a<0时，开口向下，准线方程为y＝－， 则点M到准线的距离为＝6， 解得a＝－. 因此，抛物线方程为y＝－x2， 即x2＝－36y.故选BD. 【答案】　BD (2)①准线方程为2x＋4＝0，即x＝－2，故抛物线焦点在x轴的正半轴上，设其方程为y2＝2px(p>0)． 又＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝8x. ②∵由题意设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，把点(3，－4)的坐标代入y2＝2px，得(－4)2＝2p·3，即2p＝，∴所求抛物线的标准方程为y2＝x. 求抛物线的标准方程的常用方法 定义法 根据定义求出p，最后写标准方程 待定系数法 设出标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. 解：(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 抛物线定义的应用(变通探究) 　(课本例3拓展)若位于y轴右侧的动点M到F的距