2.6.2 双曲线的几何性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．6.2　双曲线的几何性质 [素养目标]　1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质，理解双曲线的离心率、渐近线的意义，重点培养直观想象核心素养．　2.依据几何条件求出双曲线方程，并利用双曲线的性质解决相关问题．重点提升数学运算核心素养． 　双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴．实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝(e>1) 1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性曲线；双曲线有两支，故在应用时要注意点在哪一支上；根据方程判断焦点的位置时，注意双曲线与椭圆的差异性． 2．如果双曲线的方程确定，那么其渐近线的方程是唯一的，但如果双曲线的渐近线确定，那么其对应的双曲线有无数条，具有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，对应的双曲线焦点在x轴上，当λ<0时，对应的双曲线焦点在y轴上． 3．因为e＝＝＝，所以＝，所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线开口的大小，离心率越大，开口越开阔，离心率越小，开口越扁狭． 4．等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率等于. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线－＝1的焦点在y轴上．(　　) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) (3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．若0<k<a，则双曲线－＝1与－＝1有(　　) A．相同的实轴　　　　　 B.相同的虚轴 C．相同的焦点 D.相同的渐近线 解析：选C.∵0<k<a，∴a2－k2>0. ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2. 3．若已知双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________. 解析：由题意知＝e2＝3，解得m＝2. 答案：2 4．双曲线－＝1(a≠0)的一条渐近线方程为y＝x，则实数a的值为________． 解析：依题意得＝，∴a＝±5. 答案：±5 由双曲线方程求其性质(小组探究) 　(课本例1改编)(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0　　　 B.x±y＝0 C．x±2y＝0 D.2x±y＝0 (2)求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 【尝试解答】　(1)椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝. 由e1e2＝·＝·＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.故选A. (2)把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝. 顶点坐标为(－，0)，(，0)． 所以双曲线渐近线的方程为y＝± x＝±x. 【答案】　A 根据双曲线方程研究其性质的基本思路 (1)将双曲线的方程转化为标准形式． (2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c的值． (3)根据确定的a，b，c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等． 1．求双曲线4y2－9x2＝－4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图． 解：将双曲线方程化成标准方程－＝1，可知实半轴长a＝＝，虚半轴长b＝＝1.于是有c＝＝＝，所以焦点坐标为，，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 要画双曲线的草图，首先在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点，，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比如取y＝1，算出x＝≈0.94，可知点(0.94，1)，(0.94，－1)在双曲线上，将三点(0.94，－1)，，(0.94，1)依次连成光滑曲线并让它随x的增大逐步接近渐近线，画出位于第一、四象限内双曲线的一支．最后由对称性可画出位于第二、三象限内双曲线的另一支，得双曲线的草图如图所示． 由双曲线的几何性质求方程(多维探究) 　(课本习题2－6AT2拓展)求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)