2.5.2 椭圆的几何性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．5.2　椭圆的几何性质 [素养目标]　1.通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性质，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握a，b，c，e的相互关系，了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响，重点培养直观想象核心素养． 　椭圆的几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b 对称性 对称轴为x轴、y轴、对称中心为原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 长、短轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 离心率 e＝(0<e<1) 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率等，它们能反映椭圆的大小范围、对称性、圆扁程度等；另一类是与坐标有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标等，它们能反映椭圆及其特殊点的平面位置． 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，则|PF|max＝a＋c，|PF|min＝a－c. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等都与椭圆焦点所在的坐标轴有关．(　　) (2)椭圆的焦点一定在长轴上．(　　) (3)椭圆＋＝1(a>b>0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度．(　　) (4)椭圆＋＝1比椭圆＋＝1更扁一些．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：选C.不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选D.c＝1，由e＝＝得a＝2， 由b2＝a2－c2得b2＝3. 所以椭圆方程为＋＝1. 4．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________． 解析：由题意得c＝1，当焦点在x轴上时，m－4＝1得m＝5，当焦点在y轴上时，4－m＝1，解得m＝3. 答案：3或5 由椭圆的方程研究其几何性质(小组探究) 　(课本例1改编)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标． 【尝试解答】　椭圆方程可化为＋＝1(m>0)． 因为m>0，所以必有m>，椭圆焦点一定在x轴上， 所以a＝，b＝，c2＝. 又e＝，则＝，故m＝1. 从而a＝1，b＝，c＝. 因此椭圆的长轴长2a＝2，短轴长2b＝1，焦点坐标F1，F2. 研究椭圆几何性质的一化、二判、三求 一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式． 二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上． 三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题． 1．已知点在椭圆y2＋(m＋3)x2＝m(m>0)上，求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率． 解：因为点在椭圆y2＋(m＋3)x2＝m(m>0)上， 所以＋(m＋3)·＝m，解得m＝1. 这时椭圆方程可化为y2＋＝1. 椭圆焦点在y轴上，a2＝1，b2＝， 所以c2＝. 于是长轴长2a＝2，短轴长2b＝1，顶点坐标为(0，1)，(0，－1)，，，焦点坐标为，，离心率e＝. 利用椭圆的几何性质求方程(综合探究) 　(课本练习BT1迁移)(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则此椭圆的标准方程为________________． (2)经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________． 【尝试解答】　(1)若焦点在x轴上，则设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意，有(其中c2＝a2－b2)，解得a2＝5，c2＝，则b2＝5－＝，故椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为＋＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 【答案】　(1)＋＝1或＋＝1 (2)＋＝1或＋＝1 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (