2.3.4 圆与圆的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．3.4　圆与圆的位置关系 [素养目标]　1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法，重点培养直观想象核心素养． 2．会运用圆与圆的位置关系解决相关问题， 重点提升数学运算核心素养． 　圆与圆的位置关系 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．(　　) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　　) A．外离　 B．相交　　 C．外切　 D．内切 解析：选B．因为两圆的圆心距|O1O2|＝，且2－1<<2＋1，所以两圆相交． 3．已知两圆的半径分别为1和5，若两圆相切，则圆心距d的取值是________． 答案：4或6 4．已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0相交于A,B两点，则过两交点A,B的直线方程为__________． 答案：4x－3y－9＝0 圆与圆位置关系的判定(小组探究) 　(课本例1改编)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？ (2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？ 【尝试解答】　(1)∵m＝1，∴两圆的方程可化为： C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1. 两圆的圆心距d＝＝2， 又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， ∴r1－r2<d<r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交． (2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含， 则<3－1， 即(m＋1)2<0，显然不等式无解． 故不存在m使得圆C1与圆C2内含． 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围，有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆C1与圆C2的位置关系如何？ 解：把两圆的方程化为标准方程，得圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4，则圆C1、圆C2的圆心分别为(a，－2)，(－1，a)，半径分别为3，2，所以两圆的圆心距d＝＝＝，所以当a＝－时，dmin＝<|3－2|，此时圆C1与圆C2的位置关系是内含． 两圆相交的有关问题(多维探究) 　(1)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为____________________，公共弦长为________． (2)求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 【尝试解答】　(1)联立两圆的方程得方程组 两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程． 解法一　设两圆相交于A，B两点，则A，B两点满足方程组解得或 所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2. 解法二　由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长为2. 【答案】x－2y＋4＝0　2 (2)解法一　设两圆的交点分别为A,B，由 得y＝x. 由 解得或 ∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、B(3，3)． 线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由得 ∴所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为＝4. ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 解法二　同法一求得A(－1，－1)、B(3，3)． 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 解得 ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋