9.2 双曲线-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

9．2　双曲线 课程标准 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．　2.了解双曲线的简单应用．　 授课提示：对应学生用书第204页 知识点一　双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 用数学式表示为{M|||MF1|－|MF2||＝2a,2a＜|F1F2|}． (1)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (2)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 知识点二　双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． [对点自测] 1．(知识点一)过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1的直线交左支于P，Q两点．若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　) A．28　　 B．14－8　　 C．14＋8　　 D．8 答案：C 2．(知识点二)已知双曲线C：－＝1，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 3．(知识点二)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B.x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案：A 4．(知识点一)(易错题)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________． 答案：双曲线－＝1的下支 授课提示：对应学生用书第205页 　　互动探究 [例]　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) [解析]　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． [答案]　C (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． [解析]　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， 所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. [答案]　2 技法点拨 应用双曲线定义的注意事项 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一个常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若将定义中的“绝对值”去掉，则点的轨迹是双曲线的一支．同时，要注意双曲线定义的转化应用．　 链接高考 (2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　) A．1　　　　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 解析：由 得 ∴|F1F2|＝2c＝2a. ∵△PF1F2中，F1P⊥F