7.6 空间向量及其运算-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

7．6　空间向量及其运算 课程标准 1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．　3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示．　4.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题．　 授课提示：对应学生用书第167页 知识点一　空间向量的有关概念、定理 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任一空间向量p，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点二　空间向量的数量积及运算律 1．非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点三　空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 1.在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 　 [对点自测] 1．(知识点一)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 答案：C 2．(知识点一、三)在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　 B．平行　　 C．异面　　 D．相交但不垂直 答案：B 3．(知识点二)在正四面体ABCD中，·＋·＋·的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：B 4．(知识点二、三)设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2，1)，b＝(3，－2，m)．若l1⊥l2，则m＝________. 答案：10 授课提示：对应学生用书第168页 　　自主探究 1.已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　) A.(b＋c－a)　 　　　 B.(a＋b＋c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) 解析：＝＋＋＝－＋＝(－)－＋ ＝－－＋＝(c－a－b)． 答案：D 2.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 答案：A 3.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 解析：如图，连接ON，设＝a，＝b，＝c， 则＝－＝(＋)－＝b＋c－a， ＝＋＝＋ ＝a＋ ＝a＋b＋c. 又＝x＋y＋z， 所以x＝，y＝，z＝， 因此x＋y＋z＝＋＋＝. 答案： 技法点拨 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活运用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 　　互动探究 [例]　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC