7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版单选 新教材 老高考）

7．3　空间点、直线、平面之间的位置关系 课程标准 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面间的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面间的位置关系的定义．　2.了解四个基本事实和一个定理，并能用定理解决相关问题．　 授课提示：对应学生用书第154页 知识点一　平面 1．平面的基本事实 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．基本事实三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点二　空间中两直线间的位置关系 1．空间中两直线间的位置关系 2．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 3．定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三　空间中直线与平面、平面与平面间的 位置关系 1．直线与平面间的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． 2．平面与平面间的位置关系有平行、相交两种情况． [对点自测] 1．(知识点一)下列命题中正确的是(　　) A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域 答案：D 2．(知识点二、三)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b(　　) A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 答案：D 3．(知识点一、二)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 答案：D 4．(知识点二)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________． 答案：60° 授课提示：对应学生用书第155页 　　互动探究 [例1]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． [证明]　(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且EF＝A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知EF∥CD1， 且EF＝CD1， ∴四边形CD1FE是梯形， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则P∈CE，且P∈D1F. ∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点． [变式训练]　若本例条件不变，且CE∩D1F＝Q，证明Q，A，D三点共线． 证明：∵CE∩D1F＝Q， ∴Q∈平面ADD1A1，且Q∈平面ABCD. 又∵平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴Q∈AD. 故Q，A，D三点共线． 技法点拨 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证明其他各点都在这条直线上． (3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．　 　　自主探究 1．下列推断中，错误的是(　　) A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 解析：对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确． 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β， 即α∩β＝AB，B正确． 对于C，若l∩α＝A， 则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误． 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确． 答案：C 2．(2023·哈尔滨师大附中等三校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，